중3수학 - 유형 - 12249274 - 27번

제곱근 대소 비교 문제 풀이

이 문제는 주어진 여러 개의 제곱근 형태의 수 중에서, 두 수 2와 6 사이에 있는 수의 개수를 찾는 문제입니다. 이를 해결하기 위해서는 각 수가 2와 6 사이에 있는지 판별해야 합니다.

경계값 제곱근 변환: 주어진 구간의 양 끝값인 2와 6을 제곱근 형태($\sqrt{a}$)로 변환합니다.
대소 관계 비교 기준 설정: 어떤 수 $\sqrt{x}$가 $\sqrt{4}$와 $\sqrt{36}$ 사이에 있으려면, 제곱근 안의 수 $x$가 4와 36 사이에 있어야 합니다. 즉, $4 < x < 36$ 조건을 만족해야 합니다.
주어진 수 판별: 보기의 각 수 $\sqrt{x}$에 대해 제곱근 안의 수 $x$ 값을 확인하고, 이 값이 $4 < x < 36$ 범위에 속하는지 검사합니다. (분수 형태는 소수로 변환하여 비교하면 편리합니다.)
개수 세기: 조건을 만족하는 수의 개수를 셉니다.

제곱근 대소 관계:

양수 $a, b$에 대하여,

$$ a < b \iff \sqrt{a} < \sqrt{b} $$

따라서, $2 < \sqrt{x} < 6$ 인지 확인하는 것은 $ \sqrt{4} < \sqrt{x} < \sqrt{36} $ 인지 확인하는 것과 같고, 이는 $ 4 < x < 36 $ 인지 확인하는 것과 같습니다.

Step 1: 비교 기준 설정

두 수 2와 6 사이에 있는 수를 찾습니다. 비교를 용이하게 하기 위해 2와 6을 제곱근 형태로 바꿉니다.

$$ 2 = \sqrt{2^2} = \sqrt{4} $$

$$ 6 = \sqrt{6^2} = \sqrt{36} $$

따라서, 어떤 수 $\sqrt{x}$가 2와 6 사이에 있으려면 $ \sqrt{4} < \sqrt{x} < \sqrt{36} $ 이어야 하고, 이는 제곱근 안의 수 $x$가 $4 < x < 36$ 범위를 만족해야 함을 의미합니다.

Step 2: 주어진 수 판별

이제 보기의 각 수 $\sqrt{x}$에 대해 $x$ 값이 $4 < x < 36$ 범위에 있는지 확인합니다.

$\sqrt{5}$: $x=5$. $4 < 5 < 36$ 이므로 범위 안에 있습니다. (O)
$\sqrt{30}$: $x=30$. $4 < 30 < 36$ 이므로 범위 안에 있습니다. (O)
$\sqrt{15.5}$: $x=15.5$. $4 < 15.5 < 36$ 이므로 범위 안에 있습니다. (O)
$\sqrt{36.2}$: $x=36.2$. $36.2 > 36$ 이므로 범위 밖에 있습니다. (X)
$\sqrt{\frac{27}{10}}$: $x=\frac{27}{10} = 2.7$. $2.7 < 4$ 이므로 범위 밖에 있습니다. (X)
$\sqrt{\frac{81}{2}}$: $x=\frac{81}{2} = 40.5$. $40.5 > 36$ 이므로 범위 밖에 있습니다. (X)
$\sqrt{\frac{39}{8}}$: $x=\frac{39}{8} = 4.875$. $4 < 4.875 < 36$ 이므로 범위 안에 있습니다. (O)

Step 3: 개수 세기

Step 2에서 판별한 결과, 2와 6 사이($4 < x < 36$ 범위)에 있는 수는 다음과 같습니다.

$\sqrt{5}, \sqrt{30}, \sqrt{15.5}, \sqrt{\frac{39}{8}}$

따라서 총 4개의 수가 2와 6 사이에 있습니다.

이 문제는 제곱근의 대소 관계를 이용하여 주어진 수들이 특정 구간에 속하는지 판별하는 문제입니다. 핵심 원리는 다음과 같습니다.

경계값 변환: 비교하려는 구간의 양 끝값을 제곱근 형태로 통일합니다. ($a = \sqrt{a^2}$)
제곱근 대소 비교: 양수 $a, b$에 대해, $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$의 대소 관계는 제곱근 안의 수 $a$와 $b$의 대소 관계와 같습니다.
판별: 주어진 $\sqrt{x}$가 $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$ 사이에 있는지 판별하려면, $x$가 $a$와 $b$ 사이에 있는지 확인하면 됩니다.

특히, 분수 형태의 제곱근은 근호 안의 값을 소수나 대분수 등으로 바꾸어 비교하면 편리합니다.

④ (4개)

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