📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 무리수 \(\sqrt{3}-1\)과 \(2+\sqrt{5}\) 사이에 있는 모든 정수의 합을 구하는 문제입니다. 이를 해결하기 위해서는 각 무리수의 대략적인 값 또는 범위를 파악하여 두 수 사이에 어떤 정수들이 포함되는지 알아내야 합니다.
- 각 무리수 값 추정: \(\sqrt{3}\)과 \(\sqrt{5}\)의 값이 어떤 연속된 두 정수 사이에 있는지 범위를 찾습니다.
- 주어진 식의 범위 계산: 추정된 제곱근의 범위를 이용하여 \(\sqrt{3}-1\)과 \(2+\sqrt{5}\) 각각의 값의 범위를 부등식으로 계산합니다.
- 사이의 정수 찾기: 두 수의 범위를 바탕으로, 그 사이에 들어가는 정수들을 모두 찾습니다.
- 정수의 합 계산: 찾은 모든 정수들을 더하여 최종 답을 구합니다.
제곱근 값 추정 및 부등식 성질:
- \(a^2 < n < (a+1)^2\) 이면 \(a < \sqrt{n} < a+1\) (\(a\)는 정수)
- \(a < x < b\) 이면 \(a+c < x+c < b+c\)
- \(a < x < b\) 이면 \(a-c < x-c < b-c\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sqrt{3}\)의 범위 추정
\(1^2 = 1\)이고 \(2^2 = 4\)이므로, \(1 < 3 < 4\) 입니다.
각 변에 양의 제곱근을 취하면 \(\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}\) 입니다.
따라서 \(1 < \sqrt{3} < 2\) 입니다.
Step 2: \(\sqrt{3}-1\)의 범위 추정
Step 1에서 구한 부등식 \(1 < \sqrt{3} < 2\)의 각 변에서 1을 뺍니다.
$$ 1 – 1 < \sqrt{3} - 1 < 2 - 1 $$
정리하면 \(0 < \sqrt{3} - 1 < 1\) 입니다.
즉, \(\sqrt{3}-1\)은 0과 1 사이의 값입니다.
Step 3: \(\sqrt{5}\)의 범위 추정
\(2^2 = 4\)이고 \(3^2 = 9\)이므로, \(4 < 5 < 9\) 입니다.
각 변에 양의 제곱근을 취하면 \(\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}\) 입니다.
따라서 \(2 < \sqrt{5} < 3\) 입니다.
Step 4: \(2+\sqrt{5}\)의 범위 추정
Step 3에서 구한 부등식 \(2 < \sqrt{5} < 3\)의 각 변에 2를 더합니다.
$$ 2 + 2 < 2 + \sqrt{5} < 2 + 3 $$
정리하면 \(4 < 2 + \sqrt{5} < 5\) 입니다.
즉, \(2+\sqrt{5}\)는 4와 5 사이의 값입니다.
Step 5: 두 수 사이의 정수 찾기
우리는 다음 두 범위를 알게 되었습니다.
- \(0 < \sqrt{3} - 1 < 1\)
- \(4 < 2 + \sqrt{5} < 5\)
따라서, \(\sqrt{3}-1\)과 \(2+\sqrt{5}\) 사이에 있는 정수 \(n\)은 다음 부등식을 만족해야 합니다.
$$ \sqrt{3} – 1 < n < 2 + \sqrt{5} $$
즉, \(0.\text{xxx} < n < 4.\text{xxx}\) 를 만족하는 정수 \(n\)을 찾아야 합니다.
이 범위에 속하는 정수는 1, 2, 3, 4 입니다.
Step 6: 정수의 합 계산
Step 5에서 찾은 모든 정수의 합을 구합니다.
$$ 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 무리수 사이에 있는 정수를 찾고 그 합을 계산하는 문제입니다. 해결 과정에서 사용된 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 제곱근 값 추정: 제곱수를 이용하여 제곱근의 정수 부분을 찾고, 그 범위를 \(a < \sqrt{n} < a+1\) 형태로 나타냅니다.
- 부등식의 성질 활용: 알아낸 제곱근의 범위에 상수를 더하거나 빼서 주어진 무리수 식 전체의 범위를 계산합니다.
- 구간 내 정수 식별: 계산된 두 무리수의 범위(\(x_1 < \text{수1} < x_1+1\), \(x_2 < \text{수2} < x_2+1\))를 보고, 그 사이에 어떤 정수들이 포함되는지 결정합니다.
각 무리수의 대략적인 위치를 파악하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.
✅ 최종 정답
10