📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 보기 중에서 그 값이 순환소수가 아닌 무한소수로 나타내어지는 것을 모두 고르는 문제입니다. 순환소수가 아닌 무한소수는 무리수를 의미합니다.
따라서, 각 보기가 나타내는 수가 유리수인지 무리수인지를 판별하는 것이 핵심 전략입니다.
- 유리수와 무리수 구분:
- 유리수는 정수, 유한소수, 순환소수 등 분수 형태로 나타낼 수 있는 수입니다.
- 무리수는 분수 형태로 나타낼 수 없고, 소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수가 됩니다.
- 각 보기 분석: 각 보기를 계산하거나 변형하여 유리수인지 무리수인지를 판단합니다.
- 순환소수는 유리수입니다. (분수로 변환 가능)
- 제곱근 기호(\(\sqrt{\cdot}\)) 안의 수가 유리수의 제곱이면 그 결과는 유리수입니다.
- 제곱근 기호 안의 수가 유리수의 제곱이 아니면 그 결과는 무리수입니다.
- 유리수끼리의 사칙연산 결과는 유리수입니다.
- ‘A의 제곱근’은 \(\pm\sqrt{A}\)를 의미하며, ‘제곱근 A’는 \(\sqrt{A}\) (양의 제곱근)를 의미합니다.
- 정답 선택: 무리수로 판별된 보기를 모두 선택합니다. (정답 2개)
핵심 개념:
- 순환소수가 아닌 무한소수 = 무리수
- 유리수: 정수, 유한소수, 순환소수 (\(\frac{p}{q}\) 꼴)
- \( \sqrt{A} \) 가 유리수 \(\iff\) \(A\)가 (유리수)\(^2\) 꼴 (단, \(A \ge 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 분석 (\( \sqrt{0.\dot{3}} \))
먼저 순환소수 \(0.\dot{3}\)를 분수로 변환합니다.
$$ 0.\dot{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$
따라서 보기 ①은 \( \sqrt{\frac{1}{3}} \) 입니다.
근호 안의 수 \(\frac{1}{3}\)은 유리수의 제곱이 아닙니다. (\( \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \))
따라서 \( \sqrt{0.\dot{3}} \) 은 무리수입니다.
Step 2: 보기 ② 분석 (\( \sqrt{\frac{16}{9}} \))
제곱근 안의 수 \(\frac{16}{9}\)는 \( (\frac{4}{3})^2 \) 입니다.
$$ \sqrt{\frac{16}{9}} = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2} = \left|\frac{4}{3}\right| = \frac{4}{3} $$
\(\frac{4}{3}\)는 분수 형태이므로 유리수입니다.
Step 3: 보기 ③ 분석 (\( \sqrt{16} – \sqrt{4} \))
각 제곱근을 계산합니다.
$$ \sqrt{16} = \sqrt{4^2} = 4 $$
$$ \sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2 $$
두 값의 차를 계산합니다.
$$ \sqrt{16} – \sqrt{4} = 4 – 2 = 2 $$
2는 정수이므로 유리수입니다.
Step 4: 보기 ④ 분석 (2.5의 제곱근)
“2.5의 제곱근”은 제곱해서 2.5가 되는 수를 의미하며, 이는 \( \pm\sqrt{2.5} \) 입니다.
2.5를 분수로 바꾸면 \( 2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \) 입니다.
따라서 2.5의 제곱근은 \( \pm\sqrt{\frac{5}{2}} \) 입니다.
근호 안의 수 \(\frac{5}{2}\)는 유리수의 제곱이 아닙니다. (\( \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \))
따라서 2.5의 제곱근(\( \pm\frac{\sqrt{10}}{2} \))은 무리수입니다.
Step 5: 보기 ⑤ 분석 (제곱근 16)
“제곱근 16″은 \(\sqrt{16}\) (16의 양의 제곱근)을 의미합니다.
$$ \sqrt{16} = 4 $$
4는 정수이므로 유리수입니다.
Step 6: 결론
순환소수가 아닌 무한소수, 즉 무리수인 것은 다음과 같습니다.
- 보기 ①: \( \sqrt{0.\dot{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}} \)
- 보기 ④: 2.5의 제곱근 (\( \pm\sqrt{2.5} \))
따라서 문제의 조건을 만족하는 것은 ①, ④ 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 유리수와 무리수를 구분하는 능력을 평가합니다. 핵심은 다음과 같습니다.
- 순환소수가 아닌 무한소수 = 무리수임을 이해해야 합니다.
- 유리수 판별: 정수, 유한소수, 순환소수는 모두 유리수입니다. 제곱근 기호가 있더라도 계산 결과가 유리수가 될 수 있습니다(\( \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3} \)).
- 무리수 판별: 근호 안의 수가 유리수의 제곱이 아닐 때 그 제곱근은 무리수입니다 (\( \sqrt{\frac{1}{3}}, \sqrt{2.5} \)). 또한 ‘A의 제곱근’ (\( \pm \sqrt{A} \))은 A가 유리수의 제곱이 아닐 때 무리수가 됩니다.
- 용어 구분: ‘A의 제곱근'(\(\pm\sqrt{A}\))과 ‘제곱근 A'(\(\sqrt{A}\))를 구분해야 합니다.
각 보기를 정확히 계산하고 유리수/무리수의 정의에 따라 분류하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
순환소수가 아닌 무한소수(무리수)로 나타내어지는 것은 ① \( \sqrt{0.\dot{3}} \) 와 ④ 2.5의 제곱근 입니다.
따라서 정답은 ①, ④ 입니다.