📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 네 개의 무리수(\(\sqrt{3}+2, 4-\sqrt{2}, 4+\sqrt{6}, \sqrt{5}-1\)) 각각이 수직선 위의 네 점 A, B, C, D 중 어디에 대응하는지 찾고, 이 네 수의 대소 관계를 비교하는 문제입니다.
- 각 무리수 값 추정: 각 식에 포함된 제곱근(\(\sqrt{3}, \sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{5}\))의 범위를 파악하여, 전체 식의 값이 대략 어느 범위에 있는지 추정합니다.
- 수직선 구간 확인: 수직선에서 점 A, B, C, D가 각각 어떤 정수 구간 사이에 있는지 확인합니다. (A: 1~2, B: 2~3, C: 3~4, D: 6~7)
- 대응점 찾기: 각 무리수의 추정된 값 범위를 수직선 구간과 비교하여 어떤 점(A, B, C, D)에 대응하는지 결정합니다.
- 대소 비교: 수직선 상의 위치(왼쪽일수록 작음) 또는 추정된 값의 범위를 이용하여 네 수의 대소 관계를 부등식으로 나타냅니다.
제곱근 값 추정:
- \(1^2=1, 2^2=4 \implies 1 < \sqrt{2} < 2\)
- \(1^2=1, 2^2=4 \implies 1 < \sqrt{3} < 2\)
- \(2^2=4, 3^2=9 \implies 2 < \sqrt{5} < 3\)
- \(2^2=4, 3^2=9 \implies 2 < \sqrt{6} < 3\)
부등식 성질:
- \(a < x < b \implies a+c < x+c < b+c\)
- \(a < x < b \implies a-c < x-c < b-c\)
- \(a < x < b \implies -b < -x < -a\) (음수 곱할 시 부등호 방향 변경)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sqrt{3}+2\)의 범위 추정 및 대응점 찾기
\(1 < \sqrt{3} < 2\) 이므로, 각 변에 2를 더하면:
$$ 1+2 < \sqrt{3}+2 < 2+2 $$
$$ 3 < \sqrt{3}+2 < 4 $$
이 값은 3과 4 사이에 있습니다. 수직선에서 3과 4 사이의 점은 C입니다.
따라서, C에 대응하는 수는 \(\sqrt{3}+2\) 입니다.
Step 2: \(4-\sqrt{2}\)의 범위 추정 및 대응점 찾기
\(1 < \sqrt{2} < 2\) 이므로, 각 변에 -1을 곱하면 (부등호 방향 변경):
$$ -2 < -\sqrt{2} < -1 $$
각 변에 4를 더하면:
$$ 4-2 < 4-\sqrt{2} < 4-1 $$
$$ 2 < 4-\sqrt{2} < 3 $$
이 값은 2와 3 사이에 있습니다. 수직선에서 2와 3 사이의 점은 B입니다.
따라서, B에 대응하는 수는 \(4-\sqrt{2}\) 입니다.
Step 3: \(4+\sqrt{6}\)의 범위 추정 및 대응점 찾기
\(2 < \sqrt{6} < 3\) 이므로, 각 변에 4를 더하면:
$$ 4+2 < 4+\sqrt{6} < 4+3 $$
$$ 6 < 4+\sqrt{6} < 7 $$
이 값은 6과 7 사이에 있습니다. 수직선에서 6과 7 사이의 점은 D입니다.
따라서, D에 대응하는 수는 \(4+\sqrt{6}\) 입니다.
Step 4: \(\sqrt{5}-1\)의 범위 추정 및 대응점 찾기
\(2 < \sqrt{5} < 3\) 이므로, 각 변에서 1을 빼면:
$$ 2-1 < \sqrt{5}-1 < 3-1 $$
$$ 1 < \sqrt{5}-1 < 2 $$
이 값은 1과 2 사이에 있습니다. 수직선에서 1과 2 사이의 점은 A입니다.
따라서, A에 대응하는 수는 \(\sqrt{5}-1\) 입니다.
Step 5: 네 수의 대소 비교
네 점 A, B, C, D는 수직선 상에서 왼쪽부터 순서대로 위치합니다. 즉, A < B < C < D 입니다.
각 점에 대응하는 수를 대입하여 대소 관계를 나타내면 다음과 같습니다.
$$ (\text{A에 대응하는 수}) < (\text{B에 대응하는 수}) < (\text{C에 대응하는 수}) < (\text{D에 대응하는 수}) $$
$$ \sqrt{5}-1 < 4-\sqrt{2} < \sqrt{3}+2 < 4+\sqrt{6} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 무리수의 값을 추정하고 이를 수직선 상의 위치와 연결하는 능력을 평가합니다. 또한, 이를 통해 무리수의 대소 관계를 파악하는 능력을 확인합니다.
- 무리수 값 추정: 포함된 제곱근의 범위를 구하고 부등식의 성질을 이용하여 전체 식의 범위를 추정하는 것이 핵심입니다.
- 수직선 대응: 추정된 값의 범위가 수직선의 어떤 구간에 속하는지 파악하여 점과 수를 대응시킵니다.
- 대소 관계: 수직선 상에서 왼쪽에 있는 점에 대응하는 수가 더 작다는 원리를 이용하여 대소 관계를 결정합니다.
정확한 값 계산보다는 범위를 추정하여 문제를 해결하는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
- 네 점 A, B, C, D에 대응하는 수:
- A: \(\sqrt{5}-1\)
- B: \(4-\sqrt{2}\)
- C: \(\sqrt{3}+2\)
- D: \(4+\sqrt{6}\)
- 네 수의 대소 비교:
$$ \sqrt{5}-1 < 4-\sqrt{2} < \sqrt{3}+2 < 4+\sqrt{6} $$