📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 부등식 \(\sqrt{10} \le x \le \sqrt{27}\)를 만족하는 실수 \(x\)에 대한 여러 설명 중 옳은 것을 모두 고르는 문제입니다. 이를 위해 다음 단계들을 따릅니다.
- 경계값 추정: 부등식의 양 끝값 \(\sqrt{10}\)과 \(\sqrt{27}\)의 대략적인 값 또는 범위를 파악합니다.
- 보기 분석 (정수): 주어진 범위 내에 정수가 몇 개 있는지, 그 개수가 유한한지 확인합니다.
- 보기 분석 (유리수/무리수): 유리수와 무리수의 조밀성(어떤 구간 내에 무수히 많이 존재함)을 고려하여 해당 보기의 참/거짓을 판단합니다.
- 보기 분석 (특정 값 대입): 주어진 특정 값(\(x = \sqrt{8}+4\))이 부등식의 범위를 만족하는지 계산하여 확인합니다.
- 옳은 보기 선택: 분석 결과를 바탕으로 옳은 설명을 모두 선택합니다. (정답 2개)
핵심 개념:
- 제곱근 값 추정: \(a^2 < n < (a+1)^2 \Rightarrow a < \sqrt{n} < a+1\)
- 수의 조밀성: 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 유리수와 무수히 많은 무리수가 존재한다.
- 정수의 이산성: 주어진 범위 내의 정수는 유한개이다 (범위가 유한할 경우).
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 부등식 범위 추정
부등식의 경계값을 추정합니다.
- \(\sqrt{10}\): \(3^2 = 9\), \(4^2 = 16\) 이므로 \(9 < 10 < 16\). 따라서 \(3 < \sqrt{10} < 4\). (약 3.16)
- \(\sqrt{27}\): \(5^2 = 25\), \(6^2 = 36\) 이므로 \(25 < 27 < 36\). 따라서 \(5 < \sqrt{27} < 6\). (약 5.20)
그러므로 실수 \(x\)의 범위는 대략 \(3.16 \le x \le 5.20\) 입니다.
Step 2: 보기 분석
① 정수 \(x\)의 개수는 유한개이다.
범위 \(3.16 \le x \le 5.20\)를 만족하는 정수는 \(x = 4, 5\) 입니다.
정수의 개수는 2개로, 유한개입니다. 따라서 보기 ①은 옳습니다.
② 정수인 \(x\)의 개수는 3이다.
위에서 확인했듯이, 주어진 범위를 만족하는 정수는 4와 5, 총 2개입니다.
따라서 보기 ②는 옳지 않습니다.
③ 유리수인 \(x\)의 개수는 무한개이다.
주어진 구간 \([\sqrt{10}, \sqrt{27}]\)은 길이가 0보다 큰 구간입니다. 유리수의 조밀성에 의해, 서로 다른 두 실수 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재합니다.
따라서 보기 ③은 옳습니다.
④ \(x = \sqrt{8}+4\) 를 대입하면 조건을 만족시킨다.
\(\sqrt{8}\)의 범위를 추정합니다. \(2^2 = 4\), \(3^2 = 9\) 이므로 \(4 < 8 < 9\), 즉 \(2 < \sqrt{8} < 3\) 입니다.
각 변에 4를 더하면 \(2+4 < \sqrt{8}+4 < 3+4\), 즉 \(6 < \sqrt{8}+4 < 7\) 입니다.
이 값(6.xxx)은 주어진 범위 \([\sqrt{10}, \sqrt{27}]\) (약 [3.16, 5.20])에 포함되지 않습니다.
따라서 보기 ④는 옳지 않습니다.
⑤ 무리수인 \(x\)의 개수는 27이다.
주어진 구간 \([\sqrt{10}, \sqrt{27}]\) 내에는 무리수의 조밀성에 의해 무수히 많은 무리수가 존재합니다.
개수가 27이라는 주장은 틀렸습니다.
따라서 보기 ⑤는 옳지 않습니다.
Step 3: 최종 결론
분석 결과, 옳은 보기는 ①과 ③입니다.
문제에서 옳은 것을 모두 고르라고 했으므로(정답 2개), 최종 답은 ①, ③ 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 범위 \([\sqrt{10}, \sqrt{27}]\) 내에서 다양한 종류의 수(정수, 유리수, 무리수)의 개수와 특정 값의 포함 여부를 판단하는 문제입니다.
- 범위 추정: 무리수로 주어진 구간의 경계값을 제곱수를 이용하여 대략적인 값 또는 정수 범위를 파악하는 것이 중요합니다. (\(3 < \sqrt{10} < 4\), \(5 < \sqrt{27} < 6\))
- 정수의 이산성: 유한한 길이의 구간 내에는 유한 개의 정수만 존재합니다. (보기 ① 확인)
- 유리수/무리수의 조밀성: 길이가 0보다 큰 모든 구간에는 무수히 많은 유리수와 무수히 많은 무리수가 존재합니다. (보기 ③, ⑤ 확인)
- 값의 포함 여부 확인: 특정 무리수 값(\(\sqrt{8}+4\))의 범위를 추정하여 주어진 구간 내에 있는지 판단합니다. (보기 ④ 확인)
각 수 집합의 기본적인 성질(이산성, 조밀성)을 이해하고 적용하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
①, ③