📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 100 이하의 자연수 \(n\)에 대하여, \(\sqrt{n}\), \(\sqrt{2n}\), \(\sqrt{3n}\)이 모두 무리수가 되도록 하는 \(n\)의 개수를 구하는 문제입니다.
전체 자연수의 개수에서 \(\sqrt{n}\), \(\sqrt{2n}\), \(\sqrt{3n}\) 중 적어도 하나가 유리수가 되는 경우를 제외하는 여사건 전략을 사용하는 것이 효율적입니다.
- 유리수 조건: \(\sqrt{k}\) (단, \(k\)는 자연수)가 유리수가 되려면 \(k\)는 반드시 제곱수여야 합니다.
- 전체 개수: 100 이하의 자연수 \(n\)의 총 개수를 셉니다.
- 제외할 경우 찾기:
- \(\sqrt{n}\)이 유리수인 경우 (\(n\)이 제곱수)의 개수를 찾습니다.
- \(\sqrt{2n}\)이 유리수인 경우 (\(2n\)이 제곱수, 즉 \(n=2k^2\) 꼴)의 개수를 찾습니다.
- \(\sqrt{3n}\)이 유리수인 경우 (\(3n\)이 제곱수, 즉 \(n=3k^2\) 꼴)의 개수를 찾습니다.
- 합집합 개수 계산: 위 세 가지 경우는 서로 겹치지 않으므로(예: \(n=k^2\)이면 \(2n=2k^2\)는 제곱수가 될 수 없고, \(n=2k^2\)이면 \(3n=6k^2\)는 제곱수가 될 수 없음), 단순히 각 경우의 개수를 더하여 적어도 하나가 유리수인 경우의 총 개수를 구합니다.
- 최종 계산: 전체 개수에서 적어도 하나가 유리수인 경우의 개수를 빼서 모두 무리수인 경우의 개수를 구합니다.
핵심 개념:
자연수 \(k\)에 대하여,
- \(\sqrt{k}\)가 유리수 \(\iff\) \(k\)는 제곱수
- \(\sqrt{k}\)가 무리수 \(\iff\) \(k\)는 제곱수가 아님
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 전체 자연수 \(n\)의 개수 확인
문제의 조건은 ‘100 이하의 자연수 \(n\)’입니다. 따라서 \(n\)은 1부터 100까지의 자연수입니다.
전체 자연수 \(n\)의 개수는 100개입니다.
Step 2: \(\sqrt{n}\)이 유리수인 경우 찾기
\(\sqrt{n}\)이 유리수가 되려면 \(n\)은 제곱수여야 합니다.
\(1 \le n \le 100\) 범위의 제곱수를 찾습니다.
\(1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100\)
따라서 \(\sqrt{n}\)이 유리수가 되는 \(n\)은 총 10개입니다.
Step 3: \(\sqrt{2n}\)이 유리수인 경우 찾기
\(\sqrt{2n}\)이 유리수가 되려면 \(2n\)은 제곱수여야 합니다. 즉, \(2n = m^2\) (m은 자연수) 형태여야 합니다.
이를 만족하려면 \(n\)은 \(2 \times (\text{제곱수})\) 형태여야 합니다. 즉, \(n = 2k^2\) (k는 자연수) 꼴입니다.
이제 \(1 \le n \le 100\) 조건을 만족하는 \(n = 2k^2\)를 찾습니다.
$$ 1 \le 2k^2 \le 100 $$
각 변을 2로 나누면,
$$ 0.5 \le k^2 \le 50 $$
이를 만족하는 자연수 \(k\)는 \(k^2\)이 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 일 때입니다.
즉, \(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\) 입니다.
따라서 \(\sqrt{2n}\)이 유리수가 되는 \(n\)은 \(n = 2(1^2)=2, 2(2^2)=8, …, 2(7^2)=98\) 로 총 7개입니다.
Step 4: \(\sqrt{3n}\)이 유리수인 경우 찾기
\(\sqrt{3n}\)이 유리수가 되려면 \(3n\)은 제곱수여야 합니다. 즉, \(3n = p^2\) (p는 자연수) 형태여야 합니다.
이를 만족하려면 \(n\)은 \(3 \times (\text{제곱수})\) 형태여야 합니다. 즉, \(n = 3k^2\) (k는 자연수) 꼴입니다.
이제 \(1 \le n \le 100\) 조건을 만족하는 \(n = 3k^2\)를 찾습니다.
$$ 1 \le 3k^2 \le 100 $$
각 변을 3으로 나누면,
$$ \frac{1}{3} \le k^2 \le \frac{100}{3} \approx 33.33 $$
이를 만족하는 자연수 \(k\)는 \(k^2\)이 1, 4, 9, 16, 25 일 때입니다.
즉, \(k = 1, 2, 3, 4, 5\) 입니다.
따라서 \(\sqrt{3n}\)이 유리수가 되는 \(n\)은 \(n = 3(1^2)=3, 3(2^2)=12, …, 3(5^2)=75\) 로 총 5개입니다.
Step 5: 적어도 하나가 유리수인 경우의 수 계산
세 경우 (\(\sqrt{n}\) 유리수, \(\sqrt{2n}\) 유리수, \(\sqrt{3n}\) 유리수)를 만족하는 \(n\) 값들을 살펴보면 서로 겹치는 경우가 없습니다.
- \(n\)이 제곱수 (\(k^2\))이면, \(2n=2k^2\), \(3n=3k^2\)는 제곱수가 될 수 없습니다.
- \(n\)이 \(2k^2\) 꼴이면, \(n\)은 제곱수가 아니고, \(3n=6k^2\)도 제곱수가 될 수 없습니다.
- \(n\)이 \(3k^2\) 꼴이면, \(n\)은 제곱수가 아니고, \(2n=6k^2\)도 제곱수가 될 수 없습니다.
따라서, \(\sqrt{n}, \sqrt{2n}, \sqrt{3n}\) 중 적어도 하나가 유리수가 되는 \(n\)의 총 개수는 각 경우의 개수를 단순히 더하면 됩니다.
$$ (\text{적어도 하나가 유리수인 } n \text{의 개수}) = 10 + 7 + 5 = 22 \text{ (개)} $$
Step 6: 모두 무리수인 경우의 수 계산
\(\sqrt{n}, \sqrt{2n}, \sqrt{3n}\)이 모두 무리수가 되는 \(n\)의 개수는 전체 \(n\)의 개수에서 적어도 하나가 유리수인 \(n\)의 개수를 빼면 됩니다.
$$ (\text{모두 무리수인 } n \text{의 개수}) = (\text{전체 } n \text{의 개수}) – (\text{적어도 하나가 유리수인 } n \text{의 개수}) $$
$$ = 100 – 22 = 78 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 조건(\(\sqrt{n}, \sqrt{2n}, \sqrt{3n}\)이 모두 무리수)을 만족하는 자연수 \(n\)의 개수를 찾는 문제입니다. 문제를 직접 풀기보다는 여사건의 개념을 활용하는 것이 편리합니다.
- 핵심 조건: \(\sqrt{k}\)가 유리수 \(\iff\) \(k\)는 제곱수.
- 여사건 활용: “모두 무리수”의 반대는 “적어도 하나는 유리수”입니다. 따라서 전체 경우에서 “적어도 하나는 유리수”인 경우를 제외합니다.
- 경우 나누기: “적어도 하나는 유리수”인 경우는 \(\sqrt{n}\)이 유리수, \(\sqrt{2n}\)이 유리수, \(\sqrt{3n}\)이 유리수인 세 가지 경우로 나눌 수 있습니다.
- 구조 파악:
- \(\sqrt{n}\) 유리수 \(\implies n = k^2\)
- \(\sqrt{2n}\) 유리수 \(\implies n = 2k^2\)
- \(\sqrt{3n}\) 유리수 \(\implies n = 3k^2\)
- 개수 세기: 각 조건을 만족하는 \(n\)의 개수를 \(1 \le n \le 100\) 범위 내에서 정확히 세고, 이들 경우가 서로 배타적(겹치지 않음)임을 확인한 후 합산하여 여사건의 개수를 구합니다.
전체 개수에서 여사건의 개수를 빼서 최종 답을 구합니다.
✅ 최종 정답
78개