📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 정수 \(a, b\)에 대해 \(a+\sqrt{20}\)과 \(b-\sqrt{20}\) 사이에 있는 정수의 개수가 3개라는 조건을 이용하여 \(b-a\)의 값을 구하는 문제입니다. (\(a + \sqrt{20} < b - \sqrt{20}\) 조건이 주어졌습니다.)
핵심 전략은 다음과 같습니다.
- \(\sqrt{20}\) 값 추정: \(\sqrt{20}\)이 어떤 두 연속된 정수 사이에 있는지 파악합니다.
- 수직선 상의 구간 분석: 수직선 상에서 네 점 \(a, a+\sqrt{20}, b-\sqrt{20}, b\)의 위치 관계를 생각하고, 각 구간(\(a\)와 \(a+\sqrt{20}\) 사이, \(a+\sqrt{20}\)과 \(b-\sqrt{20}\) 사이, \(b-\sqrt{20}\)과 \(b\) 사이)에 속하는 정수의 개수를 파악합니다.
- 전체 정수 개수 계산: \(a\)와 \(b\) 사이에 있는 모든 정수의 개수를 위에서 분석한 각 구간의 정수 개수를 합하여 구합니다.
- \(b-a\) 값 계산: 두 정수 \(a, b\) 사이에 있는 정수의 개수와 \(b-a\)의 관계를 이용하여 \(b-a\) 값을 구합니다.
핵심 개념:
- 제곱근 값 추정: \(k^2 < n < (k+1)^2 \Rightarrow k < \sqrt{n} < k+1\)
- 두 정수 사이의 정수 개수: 두 정수 \(a, b\) (\(a
- 차이와 개수 관계: 두 정수 \(a, b\) (\(a
- 차이와 개수 관계: 두 정수 \(a, b\) (\(a
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sqrt{20}\)의 값 추정
\(4^2 = 16\)이고 \(5^2 = 25\)이므로, \(16 < 20 < 25\) 입니다.
각 변에 양의 제곱근을 취하면 \(\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}\) 입니다.
따라서 \(4 < \sqrt{20} < 5\) 입니다. 즉, \(\sqrt{20}\)은 4.xxx 형태의 무리수입니다.
Step 2: 수직선 상의 관계 이해
수직선 위에 네 점 \(a, a+\sqrt{20}, b-\sqrt{20}, b\)를 순서대로 나타낼 수 있습니다 (문제 조건 \(a + \sqrt{20} < b - \sqrt{20}\)).
우리는 다음 세 구간에 있는 정수의 개수를 알아내야 합니다:
- \(a\) 초과, \(a+\sqrt{20}\) 미만
- \(a+\sqrt{20}\) 초과, \(b-\sqrt{20}\) 미만
- \(b-\sqrt{20}\) 초과, \(b\) 미만
Step 3: 구간 ①의 정수 개수 파악
구간 (\(a, a+\sqrt{20}\))에 있는 정수를 찾습니다.
Step 1에서 \(4 < \sqrt{20} < 5\)이므로, \(a+4 < a+\sqrt{20} < a+5\) 입니다.
따라서 \(a\)보다 크고 \(a+\sqrt{20}\)보다 작은 정수는 \(a+1, a+2, a+3, a+4\) 입니다.
이 구간에 있는 정수의 개수는 4개입니다.
Step 4: 구간 ②의 정수 개수 확인
문제 조건에서 “\(a+\sqrt{20}\)과 \(b-\sqrt{20}\) 사이에 있는 정수가 3개”라고 명시되어 있습니다.
따라서 이 구간에 있는 정수의 개수는 3개입니다.
Step 5: 구간 ③의 정수 개수 파악
구간 (\(b-\sqrt{20}, b\))에 있는 정수를 찾습니다.
Step 1에서 \(4 < \sqrt{20} < 5\)이므로, 양변에 -1을 곱하면 \(-5 < -\sqrt{20} < -4\) 입니다.
각 변에 \(b\)를 더하면 \(b-5 < b-\sqrt{20} < b-4\) 입니다.
따라서 \(b-\sqrt{20}\)보다 크고 \(b\)보다 작은 정수는 \(b-4, b-3, b-2, b-1\) 입니다.
이 구간에 있는 정수의 개수는 4개입니다.
Step 6: \(a\)와 \(b\) 사이의 총 정수 개수 계산
\(a\)와 \(b\) 사이에 있는 모든 정수들은 위 세 구간에 속하는 정수들입니다.
따라서 \(a\)와 \(b\) 사이에 있는 총 정수의 개수는
$$ (\text{구간 ① 개수}) + (\text{구간 ② 개수}) + (\text{구간 ③ 개수}) = 4 + 3 + 4 = 11 \text{ (개)} $$
이 11개의 정수는 \(a+1, a+2, \dots, b-2, b-1\) 입니다.
Step 7: \(b-a\) 값 계산
두 정수 \(a, b\) (\(a Step 6에서 \(a\)와 \(b\) 사이에 11개의 정수가 있음을 계산했습니다 (\(k=11\)). 따라서, $$ b-a = 11 + 1 = 12 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 무리수의 값을 추정하고, 이를 이용하여 특정 구간 사이에 있는 정수의 개수를 파악하는 능력을 요구합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 제곱근 값 추정: \(\sqrt{n}\)의 값을 정확히 알 필요는 없고, \(k < \sqrt{n} < k+1\) 과 같이 어떤 연속된 두 정수 사이에 있는지만 파악하면 충분합니다. (\(4 < \sqrt{20} < 5\))
- 구간 내 정수 개수: \(a < x < a+k.xxx\) 를 만족하는 정수는 \(a+1, ..., a+k\)로 \(k\)개이고, \(b-k.xxx < x < b\)를 만족하는 정수는 \(b-k, ..., b-1\)로 \(k\)개입니다. 이 문제에서는 \(k=4\)에 해당합니다.
- 정수 개수와 차이: 두 정수 \(a, b\) (\(a
\(\sqrt{20}\)의 정수 부분을 이용하여 각 구간의 정수 개수를 정확히 세고, 이를 합하여 \(a, b\) 사이의 총 정수 개수를 구한 뒤 \(b-a\)를 계산하는 단계적 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
12