📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 자리 자연수 \(x\)에 대하여, \( \sqrt{3x} \) 가 무리수가 되도록 하는 \(x\)의 개수를 구하는 문제입니다.
직접 무리수가 되는 경우를 세는 것보다, 여사건을 이용하는 것이 더 효율적입니다. 즉, 전체 경우의 수에서 \( \sqrt{3x} \) 가 무리수가 아닌 경우(즉, 유리수가 되는 경우)의 수를 빼는 전략을 사용합니다.
- 전체 경우의 수: 두 자리 자연수 \(x\)의 개수를 구합니다.
- \( \sqrt{3x} \) 가 유리수가 될 조건: \( \sqrt{3x} \) 가 유리수가 되려면 (여기서는 \(x\)가 자연수이므로 \(3x\)는 양수, 따라서 \( \sqrt{3x} \) 는 0 또는 양수), \(3x\) 자체가 어떤 완전제곱수여야 합니다.
- \(x\)의 형태 찾기: \(3x\)가 완전제곱수가 되기 위한 자연수 \(x\)의 조건을 소인수분해를 이용하여 찾습니다. (\(3x = (\text{자연수})^2\) 꼴)
- 조건 만족하는 \(x\) 찾기: 위 조건을 만족하면서 동시에 두 자리 자연수인 \(x\)를 모두 찾습니다.
- 무리수가 되는 \(x\)의 개수 계산: (전체 두 자리 자연수 개수) – (\( \sqrt{3x} \) 가 유리수가 되게 하는 두 자리 자연수 \(x\)의 개수) 를 계산합니다.
핵심 개념:
- \( \sqrt{N} \) 이 유리수 \(\iff\) \(N\)은 (0 또는 양의 유리수)\(^2\) 꼴. (단, \(N \ge 0\))
- \(N\)이 자연수일 때, \( \sqrt{N} \) 이 유리수 \(\iff\) \( \sqrt{N} \) 이 자연수 \(\iff\) \(N\)은 완전제곱수.
- \(N\)이 완전제곱수 \(\iff\) \(N\)을 소인수분해했을 때 모든 소인수의 지수가 짝수.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 전체 경우의 수 계산 (두 자리 자연수 개수)
두 자리 자연수는 10부터 99까지입니다.
개수는 (끝 수) – (시작 수) + 1 이므로,
$$ \text{전체 개수} = 99 – 10 + 1 = 90 \text{개} $$
Step 2: \( \sqrt{3x} \) 가 유리수가 될 조건 분석
\( \sqrt{3x} \) 가 유리수가 되려면 \(3x\)가 완전제곱수여야 합니다.
\( 3x = k^2 \) (단, \(k\)는 자연수)
\(3x\)가 완전제곱수가 되려면 소인수분해했을 때 모든 지수가 짝수여야 합니다.
현재 \(3x = 3^1 \times x\) 이므로, \(x\)는 반드시 소인수 3을 홀수 개(최소 1개) 가져야 하며, \(x\)의 다른 모든 소인수 지수는 짝수여야 합니다.
따라서 \(x\)는 \( x = 3 \times (\text{자연수})^2 \) 꼴이어야 합니다.
즉, \( x = 3 \times m^2 \) (단, \(m\)은 자연수) 형태로 표현할 수 있습니다.
Step 3: 조건을 만족하는 두 자리 자연수 \(x\) 찾기
\( x = 3 \times m^2 \) 꼴이면서 두 자리 자연수(\(10 \le x \le 99\))인 \(x\)를 찾습니다.
자연수 \(m\) 값을 1부터 대입해 봅니다.
- \(m=1\) 일 때: \( x = 3 \times 1^2 = 3 \) (두 자리가 아님)
- \(m=2\) 일 때: \( x = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12 \) (두 자리 자연수)
- \(m=3\) 일 때: \( x = 3 \times 3^2 = 3 \times 9 = 27 \) (두 자리 자연수)
- \(m=4\) 일 때: \( x = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48 \) (두 자리 자연수)
- \(m=5\) 일 때: \( x = 3 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75 \) (두 자리 자연수)
- \(m=6\) 일 때: \( x = 3 \times 6^2 = 3 \times 36 = 108 \) (두 자리를 넘어섬)
따라서 \( \sqrt{3x} \) 가 유리수(자연수)가 되도록 하는 두 자리 자연수 \(x\)는 12, 27, 48, 75 입니다.
Step 4: \( \sqrt{3x} \) 가 유리수가 되게 하는 \(x\)의 개수
Step 3에서 찾은 \(x\) 값은 총 4개입니다.
Step 5: \( \sqrt{3x} \) 가 무리수가 되게 하는 \(x\)의 개수 계산 (여사건 활용)
\( \sqrt{3x} \) 가 무리수가 되는 경우는 전체 두 자리 자연수 경우에서 \( \sqrt{3x} \) 가 유리수가 되는 경우를 제외한 것입니다.
$$ (\text{무리수가 되는 경우}) = (\text{전체 경우}) – (\text{유리수가 되는 경우}) $$
$$ = 90 – 4 = 86 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 무리수의 정의와 여사건의 개념을 활용하여 특정 조건을 만족하는 수의 개수를 세는 문제입니다.
- 무리수 조건의 해석: \( \sqrt{N} \) 이 무리수라는 것은 \(N\)이 완전제곱수가 아니라는 의미입니다 (단, \(N > 0\)).
- 여사건 활용: 특정 조건(여기서는 무리수)을 만족하는 경우의 수를 직접 세기 어려울 때, 전체 경우의 수에서 그 조건의 반대(여기서는 유리수)를 만족하는 경우의 수를 빼서 구하는 것이 효과적일 수 있습니다.
- 완전제곱수 조건: \( \sqrt{kx} \) 가 유리수(자연수)가 되려면 \(kx\)가 완전제곱수여야 합니다. 이를 위해 \(k\)를 소인수분해하고, \(x\)가 어떤 형태(\( (\text{필수 소인수}) \times (\text{제곱수}) \))여야 하는지 파악해야 합니다.
- 범위 조건: 변수 \(x\)에 주어진 범위(여기서는 두 자리 자연수)를 반드시 고려하여 해당 범위 내의 해만 계산해야 합니다.
무리수/유리수 판별, 완전제곱수 조건, 여사건 활용법을 잘 이해하고 적용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
두 자리 자연수 \(x\) 중에서 \( \sqrt{3x} \) 가 무리수가 되도록 하는 \(x\)의 개수는 86개입니다.