📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 수 \(2 + \sqrt{3}\)에 대한 여러 설명 중 옳지 않은 것을 고르는 문제입니다. 이를 해결하기 위해서는 \(2 + \sqrt{3}\)이 어떤 종류의 수(유리수 또는 무리수)인지 파악하고, 무리수와 제곱근의 정의 및 성질을 정확히 이해하고 있어야 합니다.
- 주어진 수 분석: \(2 + \sqrt{3}\)의 구성 요소(2와 \(\sqrt{3}\))를 파악하고, 각각 유리수인지 무리수인지 확인합니다.
- 수의 종류 판별: 유리수와 무리수의 덧셈 결과를 이용하여 \(2 + \sqrt{3}\)이 유리수인지 무리수인지 최종적으로 판단합니다.
- 무리수의 성질 적용: 무리수의 정의(분수로 나타낼 수 없는 수)와 특징(순환하지 않는 무한소수)을 떠올립니다.
- 제곱근의 정의 적용: ‘a의 양의 제곱근’이 무엇을 의미하는지 정의를 정확히 이해합니다.
- 보기 검토: 판별한 \(2 + \sqrt{3}\)의 성질과 각 보기의 설명을 비교하여 참/거짓을 판단하고, 옳지 않은 설명을 찾습니다.
관련 핵심 개념:
- 유리수: 분수 \(\frac{p}{q}\) (단, \(p, q\)는 정수이고 \(q \neq 0\)) 꼴로 나타낼 수 있는 수. 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있습니다.
- 무리수: 유리수가 아닌 실수. 즉, 분수 꼴로 나타낼 수 없는 수. 순환하지 않는 무한소수로 나타내어집니다. 예: \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi\).
- 유리수와 무리수의 연산: (유리수) + (무리수) = (무리수), (0이 아닌 유리수) \(\times\) (무리수) = (무리수)
- 제곱근: 어떤 수 \(x\)를 제곱하여 \(a\)가 될 때, \(x\)를 \(a\)의 제곱근이라고 합니다 (\(x^2 = a\)). \(a > 0\)일 때, \(a\)의 제곱근은 양수와 음수 두 개가 존재하며, 양의 제곱근을 \(\sqrt{a}\), 음의 제곱근을 \(-\sqrt{a}\)로 나타냅니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 수 \(2 + \sqrt{3}\) 분석
주어진 수는 \(2\)와 \(\sqrt{3}\)의 합입니다.
- \(2\)는 정수이므로 유리수입니다.
- \(3\)은 제곱수가 아니므로, \(\sqrt{3}\)은 무리수입니다.
Step 2: \(2 + \sqrt{3}\)의 종류 판별
유리수와 무리수의 합은 항상 무리수입니다.
$$ (\text{유리수}) + (\text{무리수}) = (\text{무리수}) $$
따라서 \(2\) (유리수) + \(\sqrt{3}\) (무리수) = \(2 + \sqrt{3}\)은 무리수입니다.
Step 3: 보기 ① 검토
보기 ①은 “\(2 + \sqrt{3}\)은 무리수이다.”입니다.
Step 2에서 \(2 + \sqrt{3}\)이 무리수임을 확인했으므로, 보기 ①은 옳은 설명입니다.
Step 4: 보기 ③, ④ 검토
보기 ③은 “\(2 + \sqrt{3}\)은 순환소수가 아닌 무한소수로 나타내어진다.”이고, 보기 ④는 “\(2 + \sqrt{3}\)은 무한소수이다.”입니다.
Step 2에서 \(2 + \sqrt{3}\)이 무리수임을 확인했습니다. 무리수는 정의상 순환하지 않는 무한소수입니다.
따라서 \(2 + \sqrt{3}\)은 순환하지 않는 무한소수이므로, 보기 ③과 보기 ④는 모두 옳은 설명입니다.
Step 5: 보기 ⑤ 검토
보기 ⑤는 “\(2 + \sqrt{3}\)은 분수로 나타낼 수 없다.”입니다.
Step 2에서 \(2 + \sqrt{3}\)이 무리수임을 확인했습니다. 무리수는 정의상 유리수가 아닌 수, 즉 분수(정수/0이 아닌 정수) 꼴로 나타낼 수 없는 수입니다.
따라서 보기 ⑤는 옳은 설명입니다.
Step 6: 보기 ② 검토
보기 ②는 “\(2 + \sqrt{3}\)은 3의 양의 제곱근이다.”입니다.
어떤 수 \(x\)가 ‘3의 양의 제곱근’이라는 것은 \(x^2 = 3\)이고 \(x > 0\)임을 의미합니다.
제곱해서 3이 되는 양수는 \(\sqrt{3}\)입니다. 즉, 3의 양의 제곱근은 \(\sqrt{3}\)입니다.
주어진 수 \(2 + \sqrt{3}\)과 3의 양의 제곱근 \(\sqrt{3}\)을 비교하면,
$$ 2 + \sqrt{3} \neq \sqrt{3} $$
이므로, \(2 + \sqrt{3}\)은 3의 양의 제곱근이 아닙니다.
따라서 보기 ②는 옳지 않은 설명입니다.
(참고: \( (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} \) 이므로, 제곱해도 3이 되지 않습니다.)
Step 7: 최종 결론
문제는 옳지 않은 설명을 찾는 것이므로, Step 6에서 확인한 보기 ②가 정답입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 무리수의 성질과 제곱근의 정의를 정확하게 이해하고 있는지를 묻는 문제입니다. 핵심 개념을 다시 정리하면 다음과 같습니다.
- 무리수: 분수 꼴로 나타낼 수 없는 실수이며, 소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수가 됩니다. 예: \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi\) 등.
- 유리수와 무리수의 덧셈: (유리수) + (무리수)는 항상 무리수입니다. 따라서 \(2 + \sqrt{3}\)은 무리수입니다.
- 무리수의 특징: 무리수는 무한소수이며, 순환하지 않는 무한소수입니다. 또한 분수로 나타낼 수 없습니다. (보기 ①, ③, ④, ⑤ 확인 근거)
- 제곱근의 정의: ‘a의 양의 제곱근’은 제곱하면 \(a\)가 되는 양수를 의미하며, 기호로는 \(\sqrt{a}\)로 나타냅니다. ‘3의 양의 제곱근’은 \(\sqrt{3}\)입니다. (보기 ② 확인 근거)
각 보기가 수학적 정의 및 성질에 부합하는지 꼼꼼히 확인하는 것이 중요합니다. \(2+\sqrt{3}\)과 \(\sqrt{3}\)은 다른 수이므로, ②번 설명이 틀렸다는 것을 명확히 파악해야 합니다.
✅ 최종 정답
②