📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 실수의 분류(유리수, 무리수)와 소수의 분류(유한소수, 무한소수)에 대한 기본적인 정의와 관계를 정확히 이해하고 있는지 묻는 문제입니다. 각 보기의 내용이 수학적 정의에 부합하는지 판별하여 옳지 않은 설명을 모두 찾는 것이 목표입니다.
- 핵심 개념 정의: 실수, 유리수, 무리수, 유한소수, 무한소수(순환소수, 순환하지 않는 무한소수)의 정의를 명확히 합니다.
- 수의 체계 이해: 실수 체계 내에서 유리수와 무리수가 어떻게 구성되는지, 소수 표현과 이들 수 집합 간의 관계는 무엇인지 파악합니다.
- 보기 분석: 각 보기가 제시하는 주장을 위에서 정리한 정의와 개념에 비추어 참/거짓을 판단합니다.
- 옳지 않은 설명 선택: 문제의 요구사항에 따라 거짓(옳지 않은)인 보기를 모두 선택합니다.
핵심 개념 정리:
- 실수 (Real Numbers): 수직선 위의 모든 점에 대응하는 수. 유리수와 무리수로 구성됩니다.
- 유리수 (Rational Numbers): 분수 \(\frac{p}{q}\) (단, \(p, q\)는 정수이고 \(q \neq 0\)) 꼴로 나타낼 수 있는 수. 유한소수 또는 순환소수로 표현됩니다.
- 무리수 (Irrational Numbers): 유리수가 아닌 실수. 즉, 분수 꼴로 나타낼 수 없으며, 순환하지 않는 무한소수로 표현됩니다. 예: \(\sqrt{2}, \pi\).
- 유한소수 (Finite Decimals): 소수점 아래 자리수가 유한한 소수. 항상 유리수입니다. 예: \(0.5 = \frac{1}{2}\).
- 무한소수 (Infinite Decimals): 소수점 아래 자리수가 무한히 계속되는 소수.
- 순환소수 (Repeating Decimals): 일정한 숫자의 배열이 무한히 반복되는 소수. 항상 유리수입니다. 예: \(0.333… = \frac{1}{3}\).
- 순환하지 않는 무한소수 (Non-repeating Infinite Decimals): 순환마디 없이 숫자가 무한히 계속되는 소수. 항상 무리수입니다. 예: \(1.414213…\) (\(\sqrt{2}\)), \(3.141592…\) (\(\pi\)).
- 중요 관계:
- 실수 = 유리수 ∪ 무리수
- 유리수 ∩ 무리수 = ∅ (공집합)
- 유리수 = 유한소수 ∪ 순환소수
- 무리수 = 순환하지 않는 무한소수
- 무한소수 = 순환소수 ∪ 순환하지 않는 무한소수 = (일부 유리수) ∪ (모든 무리수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ① 분석
보기 ①: “실수는 유리수와 무리수로 이루어져 있다.”
실수의 정의는 수직선 위의 모든 수를 포함하며, 이는 크게 유리수와 무리수 두 집합의 합집합으로 정의됩니다. 즉, 모든 실수는 유리수이거나 무리수이며, 두 집합 외의 실수는 없습니다.
따라서 보기 ①은 실수의 기본 정의에 부합하는 옳은 설명입니다.
Step 2: 보기 ② 분석
보기 ②: “무한소수는 실수가 아니다.”
무한소수는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수로 나뉩니다.
- 순환소수는 유리수에 속합니다. (예: \(\frac{1}{3} = 0.333…\))
- 순환하지 않는 무한소수는 무리수에 속합니다. (예: \(\sqrt{2}, \pi\))
유리수와 무리수는 모두 실수의 부분집합입니다. 따라서 순환소수든 순환하지 않는 무한소수든, 모든 무한소수는 실수입니다.
보기 ②는 “무한소수는 실수가 아니다”라고 주장하므로, 이는 옳지 않은 설명입니다.
Step 3: 보기 ③ 분석
보기 ③: “모든 무리수는 실수가 아니다.”
무리수는 실수의 부분집합입니다. 실수는 유리수와 무리수로 구성되므로, 무리수는 당연히 실수에 포함됩니다.
보기 ③은 “모든 무리수는 실수가 아니다”라고 주장하므로, 이는 옳지 않은 설명입니다.
Step 4: 보기 ④ 분석
보기 ④: “유리수이면서 무리수인 수는 없다.”
유리수와 무리수는 실수를 나누는 두 개의 서로소인 집합입니다. 즉, 어떤 수가 유리수이면 무리수가 아니고, 무리수이면 유리수가 아닙니다. 두 정의는 상호 배타적입니다.
따라서 유리수이면서 동시에 무리수인 수는 존재하지 않습니다.
보기 ④는 옳은 설명입니다.
Step 5: 보기 ⑤ 분석
보기 ⑤: “실수 중 유한소수는 유리수이다.”
유한소수는 항상 분모가 10의 거듭제곱인 분수로 나타낼 수 있습니다 (예: \(0.25 = \frac{25}{100}\)). 이러한 분수는 \(p/q\) (단, p, q는 정수, q≠0) 형태이므로 유리수의 정의를 만족합니다.
따라서 모든 유한소수는 유리수입니다.
보기 ⑤는 옳은 설명입니다.
Step 6: 옳지 않은 보기 종합 및 정답 확인
각 보기를 분석한 결과는 다음과 같습니다.
- ① 옳음
- ② 옳지 않음
- ③ 옳지 않음
- ④ 옳음
- ⑤ 옳음
문제에서 옳지 않은 것을 모두 고르라고 했으므로, 옳지 않은 설명은 ②와 ③입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 실수 체계의 기본적인 구성과 정의를 정확히 이해하는 것이 중요합니다. 핵심 개념을 요약하면 다음과 같습니다.
- 실수의 구성: 실수는 유리수와 무리수로 완전히 나뉘며, 공통 부분은 없습니다 (보기 ①, ④).
- 유리수와 소수: 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있습니다 (보기 ⑤).
- 무리수와 소수: 무리수는 순환하지 않는 무한소수로만 나타낼 수 있습니다.
- 실수와 소수: 모든 유한소수와 무한소수(순환하는 것과 순환하지 않는 것 모두)는 실수입니다. 따라서 무한소수라고 해서 실수가 아니거나(보기 ②), 무리수라고 해서 실수가 아닌 것(보기 ③)은 잘못된 설명입니다.
수의 분류 체계를 명확히 숙지하고 각 집합의 정의와 포함 관계를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
✅ 최종 정답
②, ③