📌 문제 정확히 이해하기
주어진 두 실수는 다음과 같습니다.
\[ \frac{\sqrt{12}}{21} \quad \text{과} \quad \frac{\sqrt{80}}{21} \]이 두 실수 **사이에 있는** 분모가 21인 기약분수의 개수를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 주어진 수식을 변형하기
주어진 두 실수를 일반적인 형태로 나타내보겠습니다.
\[ \frac{x}{21} \quad \text{(단, } x \text{는 자연수)} \]이때 다음 부등식을 만족해야 합니다.
\[ \frac{\sqrt{12}}{21} < \frac{x}{21} < \frac{\sqrt{80}}{21} \]양변에 21을 곱하여 **정수형 부등식**으로 변형하면,
\[ \sqrt{12} < x < \sqrt{80} \][Step 2] 제곱근 값을 근삿값으로 변환하기
먼저, \( \sqrt{12} \)와 \( \sqrt{80} \)의 근삿값을 구해보겠습니다.
\[ \sqrt{12} \approx 3.46, \quad \sqrt{80} \approx 8.94 \]따라서 부등식은 다음과 같이 변형됩니다.
\[ 3.46 < x < 8.94 \]이제 이 범위에 속하는 자연수를 찾습니다.
\[ x = 4, 5, 6, 7, 8 \][Step 3] 기약분수 조건 확인
위에서 구한 \( x \) 값들 중에서 **분수 \( \frac{x}{21} \)이 기약분수인 경우**를 찾습니다.
기약분수란?
- 기약분수는 분자와 분모의 최대공약수가 1인 분수를 의미합니다.
- 즉, \( \gcd(x, 21) = 1 \)인 경우만 선택합니다.
각 \( x \) 값과 21의 최대공약수를 확인해 보겠습니다.
- \( \gcd(4, 21) = 1 \) → **기약분수**
- \( \gcd(5, 21) = 1 \) → **기약분수**
- \( \gcd(6, 21) = 3 \) → **기약분수가 아님**
- \( \gcd(7, 21) = 7 \) → **기약분수가 아님**
- \( \gcd(8, 21) = 1 \) → **기약분수**
따라서 **기약분수가 되는 값**은:
\[ x = 4, 5, 8 \][Step 4] 최종 개수 확인
기약분수가 되는 \( x \) 값의 개수는 **3개**입니다.
🎯 최종 정답 확인하기
따라서 **정답은**:
\[ \boxed{3} \]