📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 계수에 무리수(\(\sqrt{2}\))가 포함된 이차방정식 \( (1 – \sqrt{2})x^2 – (1 + \sqrt{2})x – 2 = 0 \)의 근을 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- \(x^2\) 계수 유리화: \(x^2\)의 계수인 \(1 – \sqrt{2}\)를 유리화하기 위해, 방정식의 양변에 \(1 – \sqrt{2}\)의 켤레무리수인 \(1 + \sqrt{2}\)를 곱합니다. 이렇게 하면 최고차항의 계수가 정수가 되어 계산이 편리해집니다.
- 방정식 정리 및 인수분해: 유리화 후 정리된 이차방정식을 인수분해하여 해를 구합니다. 인수분해가 어려울 경우 근의 공식을 사용할 수도 있습니다.
- (대안) 해 대입 확인: 객관식 문제이므로, 보기 중 간단한 값(예: \(x=-1\) 또는 \(x=1\))을 직접 방정식에 대입하여 근인지 확인하는 방법도 유용합니다. 만약 하나의 근을 찾으면, 근과 계수의 관계를 이용하여 다른 근을 구할 수도 있습니다.
이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\) (단, \(a \neq 0\))의 해법:
- 인수분해: \((x – \alpha)(x – \beta) = 0\) 형태로 변형하여 \(x = \alpha\) 또는 \(x = \beta\)를 구합니다.
- 근의 공식: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
- 근과 계수의 관계: 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\), \(\alpha \beta = \frac{c}{a}\)
- 켤레무리수 곱셈 (합차 공식): \((a – b)(a + b) = a^2 – b^2\)
✅ 단계별 풀이 과정 (계수 유리화 이용)
Step 1: \(x^2\) 계수 유리화
주어진 이차방정식은 \( (1 – \sqrt{2})x^2 – (1 + \sqrt{2})x – 2 = 0 \) 입니다.
\(x^2\)의 계수인 \(1 – \sqrt{2}\)를 유리화하기 위해 양변에 \(1 + \sqrt{2}\)를 곱합니다.
$$ (1 + \sqrt{2})(1 – \sqrt{2})x^2 – (1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})x – 2(1 + \sqrt{2}) = 0 $$
각 항을 계산합니다.
- \(x^2\)의 계수: \((1 + \sqrt{2})(1 – \sqrt{2}) = 1^2 – (\sqrt{2})^2 = 1 – 2 = -1\)
- \(x\)의 계수: \(-(1 + \sqrt{2})^2 = -(1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = -(1 + 2\sqrt{2} + 2) = -(3 + 2\sqrt{2})\)
- 상수항: \(-2(1 + \sqrt{2}) = -2 – 2\sqrt{2}\)
따라서 방정식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ -x^2 – (3 + 2\sqrt{2})x – (2 + 2\sqrt{2}) = 0 $$
Step 2: 방정식 정리
계산을 편리하게 하기 위해 양변에 \(-1\)을 곱하여 \(x^2\)의 계수를 양수로 만듭니다.
$$ x^2 + (3 + 2\sqrt{2})x + (2 + 2\sqrt{2}) = 0 $$
Step 3: 인수분해
이제 이차방정식 \(x^2 + (3 + 2\sqrt{2})x + (2 + 2\sqrt{2}) = 0\)을 인수분해합니다.
곱해서 상수항 \(2 + 2\sqrt{2} = 2(1 + \sqrt{2})\)가 되고, 더해서 \(x\)의 계수 \(3 + 2\sqrt{2}\)가 되는 두 수를 찾습니다.
상수항 \(2 + 2\sqrt{2}\)를 두 인수의 곱으로 생각해보면, \(1\)과 \(2 + 2\sqrt{2}\)가 가능합니다.
이 두 수의 합을 확인합니다: \(1 + (2 + 2\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2}\). 이 값은 \(x\)의 계수와 일치합니다.
따라서 방정식은 다음과 같이 인수분해됩니다.
$$ (x + 1)(x + (2 + 2\sqrt{2})) = 0 $$
$$ (x + 1)(x + 2 + 2\sqrt{2}) = 0 $$
(풀이 이미지에서는 \((x + 1)\{x + 2(1 + \sqrt{2})\} = 0\)으로 표현되어 있습니다.)
Step 4: 근 구하기
인수분해된 식 \((x + 1)(x + 2 + 2\sqrt{2}) = 0\)에서 해를 구합니다.
- \(x + 1 = 0 \implies x = -1\)
- \(x + 2 + 2\sqrt{2} = 0 \implies x = -2 – 2\sqrt{2}\)
따라서 주어진 이차방정식의 근은 \(x = -1\) 또는 \(x = -2 – 2\sqrt{2}\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 계수에 무리수가 포함된 이차방정식을 푸는 방법을 다룹니다. 주요 전략은 다음과 같습니다.
- 계수 유리화: 최고차항 계수에 무리수가 있을 때, 그 켤레무리수를 양변에 곱하여 계수를 유리수(이 경우 정수)로 만드는 것이 일반적인 풀이법입니다. 합차 공식을 이용(\((a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) = a^2 – b\))하여 유리화합니다.
- 인수분해 또는 근의 공식: 유리화하여 정리된 이차방정식은 인수분해하거나 근의 공식을 적용하여 해를 구할 수 있습니다. 계수가 복잡해 보이더라도 인수분해가 가능한 경우가 많습니다.
- 해 대입 확인 및 근과 계수의 관계 활용:
- 간단한 정수 해(\(x=1, x=-1\) 등)를 먼저 대입하여 확인하는 것이 시간을 절약하는 방법이 될 수 있습니다. 이 문제에서는 \(x=-1\)을 대입하면 \((1 – \sqrt{2})(-1)^2 – (1 + \sqrt{2})(-1) – 2 = (1 – \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2}) – 2 = 0\)이 되어 \(x=-1\)이 근임을 바로 알 수 있습니다.
- 하나의 근 \(\alpha = -1\)을 찾았다면, 근과 계수의 관계 \(\alpha \beta = \frac{c}{a}\)를 이용하여 다른 근 \(\beta\)를 구할 수 있습니다. \( (-1) \cdot \beta = \frac{-2}{1 – \sqrt{2}} \). 따라서 \(\beta = \frac{2}{1 – \sqrt{2}} = \frac{2(1 + \sqrt{2})}{(1 – \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} = \frac{2(1 + \sqrt{2})}{1 – 2} = \frac{2(1 + \sqrt{2})}{-1} = -2(1 + \sqrt{2}) = -2 – 2\sqrt{2}\).
다양한 풀이 방법을 이해하고 문제 상황에 맞게 적절한 전략을 선택하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
주어진 이차방정식의 근은 \(x = -1\) 또는 \(x = -2 – 2\sqrt{2}\) 입니다.
따라서 정답은 ① 입니다.