📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 이차방정식 \(x^2 + 2(a+b+c)x + 3(ab+bc+ca) = 0\)이 중근을 가질 때, \(a, b, c\)를 세 변의 길이로 하는 삼각형이 어떤 삼각형인지 판별하는 문제입니다. \(a, b, c\)는 삼각형의 변의 길이이므로 양수입니다 (\(a>0, b>0, c>0\)).
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 중근 조건 사용: 이차방정식이 중근을 가질 조건은 판별식 \(D=0\)입니다. \(x\)의 계수가 짝수이므로, 짝수 판별식 \(D/4 = 0\)을 사용합니다.
- 판별식 계산 및 정리: 주어진 이차방정식의 계수를 이용하여 \(D/4\)를 계산하고, \(D/4 = 0\)이라는 식을 \(a, b, c\)에 대한 관계로 정리합니다.
- \(a, b, c\) 관계식 해석: 정리된 \(a, b, c\)에 대한 관계식 (\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\))이 무엇을 의미하는지 해석합니다. 이 식은 특정한 형태로 변형될 수 있습니다.
- 삼각형 종류 판별: \(a, b, c\) 사이의 관계를 바탕으로 삼각형의 종류를 결정합니다. (예: \(a=b=c\)이면 정삼각형)
관련 공식:
- 이차방정식 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)의 판별식: \(D = B^2 – 4AC\)
- 이차방정식 \(Ax^2 + 2B’x + C = 0\)의 짝수 판별식: \(D/4 = (B’)^2 – AC\)
- 중근 조건: \(D = 0\) (또는 \(D/4 = 0\))
- 곱셈 공식: \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
- 항등식: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]\)
- 실수의 제곱의 합: 실수 \(X, Y, Z\)에 대해 \(X^2+Y^2+Z^2 = 0\) 이면 \(X=0, Y=0, Z=0\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 이차방정식의 중근 조건 적용 (판별식 \(D/4 = 0\))
주어진 이차방정식은 \(x^2 + 2(a+b+c)x + 3(ab+bc+ca) = 0\) 입니다.
이차방정식 \(Ax^2 + 2B’x + C = 0\) 형태로 볼 때,
- \(A = 1\)
- \(B’ = a+b+c\)
- \(C = 3(ab+bc+ca)\)
이 이차방정식이 중근을 가지므로 짝수 판별식 \(D/4 = 0\)을 만족해야 합니다.
$$ D/4 = (B’)^2 – AC = 0 $$
$$ (a+b+c)^2 – 1 \cdot 3(ab+bc+ca) = 0 $$
Step 2: 판별식 전개 및 정리
판별식 \((a+b+c)^2 – 3(ab+bc+ca) = 0\)을 전개하여 정리합니다.
곱셈 공식 \((a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)를 이용합니다.
$$ (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca) – 3(ab+bc+ca) = 0 $$
괄호를 풀고 동류항을 계산합니다.
$$ a^2+b^2+c^2 + (2-3)ab + (2-3)bc + (2-3)ca = 0 $$
$$ a^2+b^2+c^2 – ab – bc – ca = 0 $$
Step 3: \(a, b, c\) 관계식 변형
얻어진 관계식 \(a^2+b^2+c^2 – ab – bc – ca = 0\)을 변형합니다.
양변에 2를 곱합니다.
$$ 2a^2+2b^2+2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0 $$
항을 재배열하여 완전제곱식 형태로 묶습니다.
$$ (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2) = 0 $$
이는 다음과 같이 정리됩니다.
$$ (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0 $$
(참고: 항등식 \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]\)를 바로 이용해도 됩니다.)
Step 4: 관계식 해석 및 삼각형 종류 판별
\(a, b, c\)는 삼각형의 세 변의 길이이므로 양수인 실수입니다. 따라서 \(a-b\), \(b-c\), \(c-a\)도 실수입니다.
실수의 제곱은 항상 0 이상이므로, \((a-b)^2 \ge 0\), \((b-c)^2 \ge 0\), \((c-a)^2 \ge 0\) 입니다.
제곱의 합 \((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0\)이 성립하려면 각각의 제곱 항이 모두 0이어야 합니다.
- \((a-b)^2 = 0 \implies a – b = 0 \implies a = b\)
- \((b-c)^2 = 0 \implies b – c = 0 \implies b = c\)
- \((c-a)^2 = 0 \implies c – a = 0 \implies c = a\)
따라서 \(a = b = c\) 임을 알 수 있습니다.
세 변의 길이가 모두 같은 삼각형은 정삼각형입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차방정식의 중근 조건과 특정 대수식의 변형 및 해석을 통해 삼각형의 종류를 판별하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이차방정식의 중근 조건: 판별식 \(D = 0\) (또는 짝수 판별식 \(D/4 = 0\))을 이용하여 방정식의 계수들 사이의 관계식을 유도합니다.
- 식의 변형: \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) 이라는 식은 \( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0 \) 으로 변형될 수 있음을 아는 것이 중요합니다. 이 식은 \(a=b=c\) 와 동치입니다.
- 실수의 성질: 실수 제곱의 합이 0이면 각 실수는 0이어야 한다는 성질을 이용합니다. (\(X^2+Y^2+Z^2=0 \implies X=Y=Z=0\))
- 삼각형의 변의 조건: 삼각형의 세 변의 길이는 항상 양수입니다.
- 삼각형의 종류: 세 변의 길이 관계 (\(a=b=c\))를 통해 삼각형의 종류(정삼각형)를 판별합니다.
판별식을 정확히 계산하고, 그 결과를 \(a, b, c\)에 대한 관계식으로 올바르게 해석하는 능력이 요구됩니다.
✅ 최종 정답
\(a, b, c\)를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 \(a=b=c\)인 정삼각형입니다.
따라서 정답은 ① 정삼각형 입니다.