📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 개의 이차방정식이 주어져 있고, 각 방정식의 근에 대한 정보가 주어졌습니다.
- 첫 번째 방정식 \(2x^2 + ax + 1 = 0\)의 두 근은 \(\alpha, \beta\)입니다.
- 두 번째 방정식 \(x^2 + 3x – b = 0\)의 두 근은 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\)입니다.
목표는 상수 \(a, b\)의 값을 구하여 \(a-b\)를 계산하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 각 방정식에 근과 계수의 관계 적용: 각 이차방정식에 대해 근과 계수의 관계를 적용하여 두 근의 합과 곱을 계수(\(a, b\))로 표현합니다.
- 두 방정식의 관계식 연결: 두 번째 방정식의 근(\(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\))의 합과 곱을 \(\alpha, \beta\)로 표현한 뒤, 첫 번째 방정식에서 얻은 \(\alpha+\beta\)와 \(\alpha\beta\) 값을 이용하여 \(a, b\)에 대한 연립 방정식을 만듭니다.
- \(a, b\) 값 계산: 연립 방정식을 풀어 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- 최종 값 계산: \(a-b\)의 값을 계산합니다.
이차방정식 근과 계수의 관계:
이차방정식 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) (단, \(A \neq 0\))의 두 근을 \(p, q\)라고 할 때,
- 두 근의 합: \(p + q = -\frac{B}{A}\)
- 두 근의 곱: \(p \cdot q = \frac{C}{A}\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 방정식에 근과 계수의 관계 적용
방정식 \(2x^2 + ax + 1 = 0\)의 두 근이 \(\alpha, \beta\)이므로, 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
$$ \alpha + \beta = -\frac{a}{2} \quad \cdots ① $$
$$ \alpha \beta = \frac{1}{2} \quad \cdots ② $$
Step 2: 두 번째 방정식에 근과 계수의 관계 적용
방정식 \(x^2 + 3x – b = 0\)의 두 근이 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\)이므로, 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
$$ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{3}{1} = -3 \quad \cdots ③ $$
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{-b}{1} = -b \quad \cdots ④ $$
Step 3: 두 방정식의 관계식 연결 및 정리
식 ③과 ④를 \(\alpha, \beta\)의 합과 곱으로 나타냅니다.
식 ③ 정리:
$$ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} $$
따라서, \(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = -3\) 입니다.
식 ④ 정리:
$$ \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} $$
따라서, \(\frac{1}{\alpha \beta} = -b\) 입니다.
(풀이 이미지에서는 \(\alpha + \beta = -3 \alpha \beta\) 와 \(\alpha \beta = -\frac{1}{b}\) 로 바로 정리했습니다.)
Step 4: \(a, b\) 값 구하기
Step 1에서 구한 식 ①(\(\alpha + \beta = -\frac{a}{2}\))과 식 ②(\(\alpha \beta = \frac{1}{2}\))를 Step 3에서 정리한 식에 대입합니다.
먼저 \(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = -3\) 에 대입:
$$ \frac{-\frac{a}{2}}{\frac{1}{2}} = -3 $$
분모, 분자에 2를 곱하거나 번분수를 계산하면:
$$ -a = -3 $$
$$ \therefore a = 3 $$
다음으로 \(\frac{1}{\alpha \beta} = -b\) 에 대입:
$$ \frac{1}{\frac{1}{2}} = -b $$
$$ 2 = -b $$
$$ \therefore b = -2 $$
Step 5: \(a-b\) 값 계산
Step 4에서 구한 \(a=3\) 과 \(b=-2\) 를 이용하여 \(a-b\)를 계산합니다.
$$ a – b = 3 – (-2) = 3 + 2 = 5 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 이차방정식의 근들 사이에 역수 관계가 있을 때, 각 방정식의 계수들을 연결하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이차방정식의 근과 계수의 관계 (Vieta’s formulas): 방정식의 근을 직접 구하지 않고도 근들의 합과 곱을 계수를 이용해 표현할 수 있는 강력한 도구입니다.
- 근의 역수 관계: 한 방정식의 근이 \(\alpha, \beta\)이고 다른 방정식의 근이 \(\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}\)일 때, 두 번째 방정식의 근의 합과 곱은 \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)와 \(\frac{1}{\alpha\beta}\)로 표현됩니다. 이를 통해 첫 번째 방정식의 근과 계수의 관계에서 얻은 정보를 활용할 수 있습니다.
- 연립방정식 풀이: 근과 계수의 관계를 통해 얻어진 여러 식들을 연립하여 미지수(이 문제에서는 \(a, b\))의 값을 구합니다.
각 방정식에 근과 계수의 관계를 정확히 적용하고, 두 관계식 세트 간의 연결고리(이 경우, 역수 관계를 이용한 식 변형)를 찾아 연립하여 푸는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(a – b = 5\)
\(5\)