📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 이차방정식은 \(x^2 – ax – 4a = 0\) 이고, 조건으로 \(a > 0\) 이 주어졌습니다. 이 방정식의 서로 다른 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라고 할 때, \(|\alpha| + |\beta| = 6\) 이라는 조건이 추가로 주어졌습니다. 목표는 \(\alpha^2 + \beta^2\)의 값을 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 근과 계수의 관계 이용: 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합(\(\alpha + \beta\))과 곱(\(\alpha \beta\))을 계수 \(a\)로 표현합니다.
- 근의 부호 판별: 근과 계수의 관계에서 얻은 \(\alpha \beta\)의 값과 \(a > 0\) 조건을 이용하여 두 근 \(\alpha, \beta\)의 부호 관계를 파악합니다. (\(\alpha \beta\)가 음수이므로 두 근은 서로 다른 부호를 가집니다.)
- 주어진 조건 활용: \(|\alpha| + |\beta| = 6\) 조건의 양변을 제곱합니다. \( (|\alpha| + |\beta|)^2 = 36 \).
- 제곱식 전개 및 변형: \( (|\alpha| + |\beta|)^2 = |\alpha|^2 + 2|\alpha||\beta| + |\beta|^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2|\alpha\beta| \) 임을 이용합니다. 두 근의 부호가 다르므로 \(|\alpha\beta| = -\alpha\beta\) 임을 적용하여 식을 \(\alpha + \beta\)와 \(\alpha\beta\)로 나타냅니다. (\(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 – 2\alpha\beta\) 활용)
- \(a\) 값 구하기: 위에서 얻은 식과 \( (|\alpha| + |\beta|)^2 = 36 \)을 이용하여 \(a\)에 대한 방정식을 세우고, \(a > 0\) 조건을 만족하는 \(a\) 값을 구합니다.
- \(\alpha^2 + \beta^2\) 계산: 구한 \(a\) 값을 이용하여 \(\alpha + \beta\)와 \(\alpha\beta\)를 확정하고, 곱셈 공식 변형 \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta\)를 이용하여 최종 답을 계산합니다.
관련 공식:
- 이차방정식 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)의 근과 계수의 관계: \(\alpha + \beta = -B/A\), \(\alpha \beta = C/A\)
- 곱셈 공식 변형: \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta\)
- 절댓값 성질: \(|X|^2 = X^2\), \(|XY| = |X||Y|\). 만약 \(X < 0\)이면 \(|X| = -X\).
- \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 근과 계수의 관계 및 근의 부호 판별
주어진 이차방정식은 \(x^2 – ax – 4a = 0\) 입니다. (\(a > 0\))
근과 계수의 관계에 의해 두 근 \(\alpha, \beta\)의 합과 곱은 다음과 같습니다.
$$ \alpha + \beta = – \frac{-a}{1} = a $$
$$ \alpha \beta = \frac{-4a}{1} = -4a $$
문제에서 \(a > 0\) 이므로, 두 근의 곱 \(\alpha \beta = -4a\)는 음수입니다 (\(\alpha \beta < 0\)).
이는 두 근 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 서로 다른 부호를 가짐을 의미합니다 (하나는 양수, 하나는 음수).
Step 2: 주어진 조건 \(|\alpha| + |\beta| = 6\) 활용
주어진 조건 \(|\alpha| + |\beta| = 6\)의 양변을 제곱합니다.
$$ (|\alpha| + |\beta|)^2 = 6^2 = 36 $$
좌변을 전개합니다.
$$ (|\alpha| + |\beta|)^2 = |\alpha|^2 + 2|\alpha||\beta| + |\beta|^2 $$
\(|\alpha|^2 = \alpha^2\) 이고 \(|\beta|^2 = \beta^2\) 이므로,
$$ = \alpha^2 + \beta^2 + 2|\alpha\beta| $$
Step 1에서 \(\alpha \beta < 0\) 임을 알았으므로, \(|\alpha\beta| = -\alpha\beta\) 입니다.
$$ = \alpha^2 + \beta^2 + 2(-\alpha\beta) = \alpha^2 + \beta^2 – 2\alpha\beta $$
이제 곱셈 공식 변형 \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta\) 를 이용합니다.
$$ (|\alpha| + |\beta|)^2 = ((\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta) – 2\alpha\beta $$
$$ = (\alpha + \beta)^2 – 4\alpha\beta $$
(풀이 이미지에서는 이 결과를 바로 사용했지만, 유도 과정은 위와 같습니다. \( \alpha^2 + \beta^2 + 2|\alpha\beta| \) 를 \( (\alpha+\beta)^2 – 2\alpha\beta + 2(-\alpha\beta) \) 로 바로 생각해도 동일합니다.)
Step 1에서 구한 \(\alpha + \beta = a\) 와 \(\alpha \beta = -4a\) 를 대입합니다.
$$ (|\alpha| + |\beta|)^2 = (a)^2 – 4(-4a) = a^2 + 16a $$
Step 3: \(a\) 값 구하기
Step 2의 결과와 \( (|\alpha| + |\beta|)^2 = 36 \) 로부터 다음 방정식을 얻습니다.
$$ a^2 + 16a = 36 $$
이항하여 \(a\)에 대한 이차방정식을 만듭니다.
$$ a^2 + 16a – 36 = 0 $$
이 이차방정식을 인수분해합니다.
$$ (a + 18)(a – 2) = 0 $$
따라서 \(a = -18\) 또는 \(a = 2\) 입니다.
문제 조건에서 \(a > 0\) 이므로, 가능한 \(a\) 값은 \(a = 2\) 입니다.
Step 4: \(\alpha^2 + \beta^2\) 계산
\(a = 2\) 이므로, Step 1의 근과 계수의 관계를 이용하여 \(\alpha + \beta\) 와 \(\alpha\beta\) 값을 구합니다.
$$ \alpha + \beta = a = 2 $$
$$ \alpha \beta = -4a = -4(2) = -8 $$
이제 목표 값인 \(\alpha^2 + \beta^2\) 를 계산합니다.
$$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta $$
구한 값을 대입합니다.
$$ \alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 – 2(-8) $$
$$ = 4 – (-16) = 4 + 16 = 20 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 기본으로 하여, 근의 절댓값에 대한 조건을 활용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 근과 계수의 관계: 이차방정식의 계수로부터 두 근의 합과 곱을 알아내는 것은 기본적이면서도 중요합니다.
- 근의 부호 판별: 두 근의 곱(\(\alpha\beta\))의 부호는 두 근의 부호 관계(모두 양수, 모두 음수, 또는 서로 다른 부호)를 알려줍니다. 이 문제에서는 \(\alpha\beta < 0\) 이므로 두 근의 부호가 다릅니다.
- 절댓값 처리: 근의 부호 관계는 절댓값을 처리하는 데 중요합니다. 특히 \(|\alpha\beta|\)를 계산할 때, \(\alpha\beta < 0\)이면 \(|\alpha\beta| = -\alpha\beta\)가 됩니다.
- 제곱을 이용한 식 변형: \(|\alpha| + |\beta|\)와 같은 형태의 조건이 주어졌을 때, 양변을 제곱하여 \(\alpha+\beta\) 및 \(\alpha\beta\)와 관련된 식으로 변형하는 전략이 유용합니다. \( (|\alpha| + |\beta|)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + 2|\alpha\beta| \) 공식을 정확히 사용해야 합니다.
- 조건 확인: 문제에 주어진 변수(여기서는 \(a\))에 대한 조건(\(a>0\))을 마지막까지 확인하여 해를 선택해야 합니다.
근과 계수의 관계, 곱셈 공식, 절댓값의 성질을 복합적으로 적용하고, 문제의 모든 조건을 충족하는 답을 찾는 능력이 필요합니다.
✅ 최종 정답
\(\alpha^2 + \beta^2 = 20\)
\(20\)