📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 이차식 \(x^2 + 2x + 3\)을 복소수의 범위에서 인수분해하고, 그 인수를 보기 중에서 찾는 문제입니다. (단, \(i = \sqrt{-1}\))
이차식을 복소수 범위에서 인수분해하는 가장 일반적인 방법은 해당 이차식을 0으로 만드는 이차방정식의 근을 구한 후, 인수 정리를 이용하는 것입니다.
- 이차방정식 설정: 주어진 이차식 \(x^2 + 2x + 3\)에 대해, 이차방정식 \(x^2 + 2x + 3 = 0\)을 생각합니다.
- 근의 공식 사용: 이차방정식의 근을 근의 공식을 이용하여 구합니다. 판별식이 음수이면 복소수(허수) 근이 나옵니다.
- 인수 정리 적용: 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라고 하면, 이차식 \(ax^2 + bx + c\)는 \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)로 인수분해됩니다.
- 인수 확인: 인수분해된 결과를 통해 인수를 확인하고 보기와 비교합니다.
관련 공식:
- 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 근의 공식: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
- 인수 정리 기반 인수분해: 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근이 \(\alpha, \beta\)일 때, \(ax^2 + bx + c = a(x-\alpha)(x-\beta)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 이차방정식의 근 구하기
주어진 이차식 \(x^2 + 2x + 3\)을 인수분해하기 위해, 이차방정식 \(x^2 + 2x + 3 = 0\)의 근을 구합니다.
근의 공식을 적용합니다. 여기서는 \(a=1, b=2, c=3\)입니다.
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4(1)(3)}}{2(1)} $$
$$ = \frac{-2 \pm \sqrt{4 – 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} $$
\(\sqrt{-8} = \sqrt{8}i = 2\sqrt{2}i\) 이므로,
$$ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} $$
분모와 분자를 2로 약분하면,
$$ x = -1 \pm \sqrt{2}i $$
따라서 이차방정식의 두 근은 \(\alpha = -1 + \sqrt{2}i\) 와 \(\beta = -1 – \sqrt{2}i\) 입니다.
Step 2: 인수 정리를 이용한 인수분해
이차방정식 \(x^2 + 2x + 3 = 0\)의 두 근이 \(-1 + \sqrt{2}i\) 와 \(-1 – \sqrt{2}i\) 이므로, 이차식 \(x^2 + 2x + 3\)은 다음과 같이 인수분해됩니다.
$$ x^2 + 2x + 3 = 1 \cdot \{x – (-1 + \sqrt{2}i)\} \{x – (-1 – \sqrt{2}i)\} $$
괄호를 정리하면,
$$ = (x + 1 – \sqrt{2}i)(x + 1 + \sqrt{2}i) $$
Step 3: 인수 확인 및 답 선택
인수분해 결과 \( (x + 1 – \sqrt{2}i)(x + 1 + \sqrt{2}i) \) 에서 두 인수는 \(x + 1 – \sqrt{2}i\) 와 \(x + 1 + \sqrt{2}i\) 입니다.
보기 중에서 이 인수와 일치하는 것을 찾습니다.
- ① \(x – 1 – \sqrt{2}i\)
- ② \(x + 1 – \sqrt{2}i\)
- ③ \(x – 1 + \sqrt{2}i\)
- ④ \(x – 2 + i\)
- ⑤ \(x – 2 – i\)
따라서 주어진 이차식의 인수인 것은 ② 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차식을 복소수 범위에서 인수분해하는 방법을 묻고 있습니다. 핵심 원리는 다음과 같습니다.
- 이차방정식의 근과 인수분해의 관계: 이차식 \(ax^2+bx+c\)를 인수분해하는 것은 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 근 \(\alpha, \beta\)를 찾는 것과 밀접하게 관련됩니다. 근을 찾으면 \(ax^2+bx+c = a(x-\alpha)(x-\beta)\)로 인수분해할 수 있습니다.
- 근의 공식과 복소수: 실수 범위에서 인수분해가 되지 않는 이차식(즉, 판별식 \(D < 0\))도 복소수 범위에서는 항상 두 개의 근(켤레복소수)을 가지며, 이를 이용하여 두 개의 일차식의 곱으로 인수분해할 수 있습니다.
- 켤레근의 성질: 실수 계수 이차방정식이 허근을 가질 경우, 그 두 근은 항상 서로 켤레복소수 관계에 있습니다. 이 문제의 근 \(-1 + \sqrt{2}i\) 와 \(-1 – \sqrt{2}i\) 도 켤레복소수입니다.
따라서 복소수 범위에서의 인수분해 문제는 해당 이차방정식의 근을 복소수 범위까지 확장하여 구하는 과정이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
② \(x + 1 – \sqrt{2}i\)