📘 문제 이해 및 풀이 전략
남자 4명과 여자 5명(A, B, C 포함)이 원형 탁자에 앉는 경우의 수를 구하는 문제입니다. 다음 두 가지 조건을 모두 만족해야 합니다.
- 여자 5명이 모두 이웃하여 앉는다.
- 여자 중 A, B, C는 어느 둘도 서로 이웃하지 않는다.
단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 봅니다 (원순열).
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 1단계: 여자 그룹화 및 전체 원순열: 여자 5명을 하나의 묶음(그룹)으로 생각합니다. 그러면 (남자 4명) + (여자 1묶음) = 총 5개의 개체를 원형으로 배열하는 경우의 수를 계산합니다.
- 2단계: 여자 그룹 내부 배열 (이웃하지 않게): 여자 묶음 내부에서 5명의 여자를 배열하는 경우의 수를 계산합니다. 이때, A, B, C는 서로 이웃하지 않도록 배열해야 합니다.
- 이웃해도 되는 나머지 여자 2명을 먼저 배열합니다.
- 배열된 여자 2명 사이와 양 끝에 생기는 공간에 A, B, C를 배열합니다.
- 3단계: 곱의 법칙 적용: 1단계와 2단계에서 구한 경우의 수를 곱하여 최종 답을 구합니다.
관련 공식:
- 원순열: 서로 다른 \(n\)개를 원형으로 배열하는 경우의 수 \((n-1)!\)
- 순열: 서로 다른 \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑아 순서대로 나열하는 경우의 수 \(_{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\)
- 이웃하는 조건: 이웃해야 하는 것들을 하나로 묶어서 생각한다.
- 이웃하지 않는 조건: 이웃해도 되는 것들을 먼저 배열하고, 그 사이와 양 끝에 이웃하지 않아야 하는 것들을 배열한다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 여자 그룹화 및 전체 원순열 계산
여자 5명을 하나의 묶음으로 취급합니다. 그러면 남자 4명과 여자 1묶음, 총 \(4 + 1 = 5\)개의 개체가 있습니다.
이 5개의 개체를 원형 탁자에 배열하는 경우의 수는 원순열 공식을 적용하여 다음과 같습니다.
$$ (5 – 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ 가지} $$
Step 2: 여자 그룹 내부 배열 계산 (A, B, C는 이웃하지 않게)
이제 여자 5명(A, B, C, 그리고 나머지 여자 2명 – 편의상 D, E라고 하자)을 묶음 내에서 일렬로 배열해야 합니다. 이때 A, B, C는 서로 이웃하지 않아야 합니다.
이웃하지 않는 조건을 만족시키기 위해, 이웃해도 상관없는 여자 D, E를 먼저 배열합니다.
D, E 두 명을 일렬로 배열하는 경우의 수는:
$$ 2! = 2 \text{ 가지} $$
D, E를 배열하면 다음과 같이 그 사이와 양 끝에 3개의 빈자리가 생깁니다: `_ D _ E _`
이제 이 3개의 빈자리에 A, B, C 세 명을 각각 한 명씩 배열하면 A, B, C는 서로 이웃하지 않게 됩니다.
3개의 자리에 3명을 배열하는 경우의 수는:
$$ _{3}P_{3} = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ 가지} $$
따라서 여자 그룹 내부에서 조건을 만족하며 배열하는 총 경우의 수는 (D, E 배열 경우의 수) \(\times\) (A, B, C 배열 경우의 수) 입니다.
$$ 2! \times 3! = 2 \times 6 = 12 \text{ 가지} $$
(풀이 이미지의 설명과 동일합니다.)
Step 3: 총 경우의 수 계산
Step 1에서 계산한 전체 그룹의 원순열 경우의 수와 Step 2에서 계산한 여자 그룹 내부 배열 경우의 수를 곱합니다 (곱의 법칙).
$$ (\text{전체 그룹 원순열 경우}) \times (\text{여자 그룹 내부 배열 경우}) $$
$$ = 24 \times 12 $$
계산하면:
$$ 24 \times 12 = 288 \text{ 가지} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원순열, 이웃하는 조건, 이웃하지 않는 조건이 복합적으로 적용된 경우의 수 문제입니다. 핵심 해결 단계는 다음과 같습니다.
- 이웃하는 조건 처리: “여자 5명이 모두 이웃한다”는 조건을 처리하기 위해 여자 5명을 하나의 묶음으로 간주합니다.
- 원순열 적용: 묶음을 포함한 전체 개체(남자 4 + 여자 묶음 1 = 5개)를 원형으로 배열하므로 원순열 공식을 사용합니다 \((n-1)!\).
- 이웃하지 않는 조건 처리: 묶음 내부에서 “A, B, C가 이웃하지 않는다”는 조건을 처리하기 위해, 제한이 없는 나머지 여자(D, E)를 먼저 배열하고, 그 사이와 양 끝의 공간에 제한이 있는 여자(A, B, C)를 배열하는 전략을 사용합니다.
- 곱의 법칙: 전체 배열의 경우의 수와 묶음 내부 배열의 경우의 수를 곱하여 최종 답을 구합니다.
복잡한 조건이 포함된 순열/조합 문제에서는 조건을 단계별로 나누어 적용하고, 각 단계에서 적절한 공식(원순열, 순열, 조합 등)을 사용하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
총 경우의 수는 288가지 입니다.
따라서 정답은 ④ 288 입니다.