📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 방정식 \(a + b + c + 3d = 10\)을 만족시키는 자연수 \(a, b, c, d\)의 모든 순서쌍 \((a, b, c, d)\)의 개수를 구하는 문제입니다. (자연수는 1 이상의 정수입니다: \(a, b, c, d \ge 1\))
이 문제는 계수가 다른 변수(\(3d\))를 포함하고 있어 표준적인 중복조합 공식을 바로 적용하기 어렵습니다. 두 가지 주요 접근 방식이 있습니다.
- 자연수 조건을 이용한 \(d\) 값 기준 경우 나누기: \(d\)가 자연수이므로 \(3d\)는 3, 6, 9, … 와 같은 값을 가집니다. \(a, b, c\)도 자연수이므로 \(a+b+c \ge 1+1+1 = 3\)입니다. 따라서 \(3d = 10 – (a+b+c) \le 10 – 3 = 7\) 이므로, 가능한 \(3d\) 값은 3 또는 6입니다. 즉, \(d=1\) 또는 \(d=2\)인 경우로 나누어 각 경우에 대해 \(a+b+c\) 값을 구하고, 자연수 해의 개수를 셉니다.
- 음이 아닌 정수 해로 변환 후 경우 나누기 (해설 이미지 방식): 자연수 조건을 음이 아닌 정수 조건으로 바꾸기 위해 치환 (\(a = a’+1, b = b’+1, c = c’+1, d = d’+1\), 여기서 \(a’, b’, c’, d’ \ge 0\))을 사용합니다. 변환된 방정식에서 계수가 큰 변수(\(d’\))를 기준으로 경우를 나누어 중복조합 공식을 적용합니다.
여기서는 해설 이미지의 접근 방식인 두 번째 방법을 따르겠습니다.
관련 공식:
- 방정식 \(x_1 + x_2 + … + x_k = n\)의 음이 아닌 정수 해의 개수 (중복조합): \(_{k}H_{n} = _{k+n-1}C_{n} = _{k+n-1}C_{k-1}\) (서로 다른 \(k\)개 중에서 중복을 허용하여 \(n\)개를 뽑는 경우의 수)
✅ 단계별 풀이 과정 (해설 이미지 방식)
Step 1: 자연수 조건을 음이 아닌 정수 조건으로 변환
\(a, b, c, d\)가 자연수(\(\ge 1\))이므로, 다음과 같이 치환합니다.
- \(a = a’ + 1\)
- \(b = b’ + 1\)
- \(c = c’ + 1\)
- \(d = d’ + 1\)
여기서 \(a’, b’, c’, d’\)은 모두 음이 아닌 정수 (\(a’, b’, c’, d’ \ge 0\)) 입니다.
이 치환을 원래 방정식 \(a + b + c + 3d = 10\)에 대입합니다.
$$ (a’ + 1) + (b’ + 1) + (c’ + 1) + 3(d’ + 1) = 10 $$
$$ a’ + 1 + b’ + 1 + c’ + 1 + 3d’ + 3 = 10 $$
정리하면,
$$ a’ + b’ + c’ + 3d’ + 6 = 10 $$
$$ a’ + b’ + c’ + 3d’ = 4 $$
이제 우리는 음이 아닌 정수 \(a’, b’, c’, d’\)에 대해 위 방정식을 만족하는 순서쌍의 개수를 구하면 됩니다.
Step 2: 계수가 큰 변수 \(d’\)를 기준으로 경우 나누기
방정식 \(a’ + b’ + c’ + 3d’ = 4\) 에서 \(a’, b’, c’, d’\)은 모두 0 이상입니다.
계수가 3인 \(d’\)의 가능한 값을 먼저 고려합니다.
- \(3d’\)은 \(a’ + b’ + c’ \ge 0\) 이므로 \(3d’ \le 4\) 여야 합니다.
- \(d’\)은 음이 아닌 정수이므로, 가능한 \(d’\) 값은 0 또는 1입니다.
- 만약 \(d’ = 0\) 이면, \(3d’ = 0 \le 4\) (가능)
- 만약 \(d’ = 1\) 이면, \(3d’ = 3 \le 4\) (가능)
- 만약 \(d’ = 2\) 이면, \(3d’ = 6 > 4\) (불가능)
따라서 \(d’=0\)인 경우와 \(d’=1\)인 경우로 나누어 해의 개수를 구합니다.
Step 3: 경우 (i) 계산 (\(d’ = 0\))
\(d’ = 0\)을 방정식 \(a’ + b’ + c’ + 3d’ = 4\)에 대입하면,
$$ a’ + b’ + c’ = 4 $$
이제 음이 아닌 정수 \(a’, b’, c’\)에 대해 위 방정식을 만족하는 순서쌍의 개수를 구합니다. 이는 서로 다른 3개 문자(\(a’, b’, c’\)) 중에서 중복을 허용하여 4개를 뽑는 중복조합의 수와 같습니다.
중복조합 공식을 사용합니다 (\(k=3, n=4\)).
$$ _{3}H_{4} = _{3+4-1}C_{4} = _{6}C_{4} = _{6}C_{2} $$
$$ = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \text{ 가지} $$
Step 4: 경우 (ii) 계산 (\(d’ = 1\))
\(d’ = 1\)을 방정식 \(a’ + b’ + c’ + 3d’ = 4\)에 대입하면,
$$ a’ + b’ + c’ + 3(1) = 4 $$
$$ a’ + b’ + c’ = 1 $$
이제 음이 아닌 정수 \(a’, b’, c’\)에 대해 위 방정식을 만족하는 순서쌍의 개수를 구합니다. 이는 서로 다른 3개 문자 중에서 중복을 허용하여 1개를 뽑는 중복조합의 수와 같습니다.
중복조합 공식을 사용합니다 (\(k=3, n=1\)).
$$ _{3}H_{1} = _{3+1-1}C_{1} = _{3}C_{1} $$
$$ = 3 \text{ 가지} $$
(실제로 가능한 순서쌍은 \((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\) 세 가지입니다.)
Step 5: 총 경우의 수 계산
경우 (i)와 경우 (ii)는 서로 배타적이므로, 각 경우에서 구한 해의 개수를 더합니다.
$$ \text{총 순서쌍 개수} = (\text{경우 i 개수}) + (\text{경우 ii 개수}) $$
$$ = 15 + 3 = 18 \text{ 가지} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 방정식의 정수 해 개수를 세는 문제로, 특히 변수의 계수가 1이 아닌 경우와 자연수 조건이 포함된 유형입니다. 핵심 해결 전략은 다음과 같습니다.
- 자연수 조건을 음이 아닌 정수 조건으로 변환: \(x \ge 1\) 조건을 \(x = x’ + 1\) (\(x’ \ge 0\))로 치환하여 중복조합 공식을 적용하기 쉬운 형태로 변환하는 것이 일반적입니다.
- 계수가 큰 변수 기준 경우 나누기: 방정식에 계수가 1이 아닌 변수(예: \(3d’\))가 포함된 경우, 해당 변수가 가질 수 있는 값을 기준으로 경우를 나누어 생각합니다. 이렇게 하면 각 경우에서 표준적인 중복조합 문제로 귀결됩니다.
- 중복조합(Combination with Repetition): 방정식 \(x_1 + … + x_k = n\)의 음이 아닌 정수 해의 개수는 \(_kH_n = _{k+n-1}C_n\) 공식을 이용하여 계산합니다. 이는 \(n\)개의 동일한 물건을 \(k\)개의 서로 다른 상자에 넣는 경우의 수(빈 상자 허용)와 같습니다.
- 합의 법칙: 나누어진 각 경우는 서로 동시에 발생할 수 없으므로, 각 경우에서 구한 해의 개수를 모두 더하여 최종 답을 얻습니다.
✅ 최종 정답
방정식을 만족시키는 자연수 \(a, b, c, d\)의 모든 순서쌍의 개수는 18개입니다.
따라서 정답은 ② 18 입니다.