📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 다항식 \(\left(2x + \frac{1}{2x}\right)^7\)의 전개식에서 \(x\) 항 (즉, \(x^1\))의 계수를 구하는 문제입니다.
이 문제는 이항정리를 이용하여 해결할 수 있습니다. 이항정리의 일반항 공식을 사용하여 전개식의 임의의 항을 표현하고, 그 항의 \(x\) 지수가 1이 되는 조건을 만족하는 항의 계수를 찾습니다.
- 이항정리 일반항 적용: \((a+b)^n\)의 전개식에서 일반항은 \(_{n}C_{r} a^{n-r} b^r\) 입니다. 주어진 식에 맞게 \(a=2x, b=\frac{1}{2x}, n=7\)을 대입하여 일반항을 구합니다.
- 일반항 정리: 구한 일반항을 \(x\)의 거듭제곱과 계수 부분으로 정리합니다.
- \(x\) 항 조건 찾기: 정리된 일반항에서 \(x\)의 지수가 1이 되도록 하는 \(r\)의 값을 찾습니다.
- 계수 계산: 찾은 \(r\) 값을 일반항의 계수 부분에 대입하여 최종 계수를 계산합니다.
이항정리 (Binomial Theorem):
\((a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} {_{n}C_{r}} a^{n-r} b^r\)
여기서 일반항은 \(T_{r+1} = {_{n}C_{r}} a^{n-r} b^r\) 입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 일반항 구하기
주어진 식 \(\left(2x + \frac{1}{2x}\right)^7\)에서 \(a = 2x\), \(b = \frac{1}{2x}\), \(n = 7\) 입니다.
이항정리의 일반항 공식 \(T_{r+1} = {_{n}C_{r}} a^{n-r} b^r\)에 대입합니다.
$$ T_{r+1} = {_{7}C_{r}} (2x)^{7-r} \left(\frac{1}{2x}\right)^r $$
Step 2: 일반항 정리하기
일반항을 \(x\)의 지수와 계수 부분으로 분리하여 정리합니다.
$$ T_{r+1} = {_{7}C_{r}} (2^{7-r} x^{7-r}) \left(\frac{1}{2^r x^r}\right) $$
$$ = {_{7}C_{r}} 2^{7-r} \cdot 2^{-r} \cdot x^{7-r} \cdot x^{-r} $$
지수법칙을 적용하여 정리합니다.
$$ = {_{7}C_{r}} 2^{7-r-r} x^{7-r-r} $$
$$ = {_{7}C_{r}} 2^{7-2r} x^{7-2r} $$
여기서 계수 부분은 \(_{7}C_{r} 2^{7-2r}\) 이고, \(x\)의 지수 부분은 \(7-2r\) 입니다.
Step 3: \(x\) 항 (\(x^1\))이 되는 조건 찾기
우리는 \(x\) 항, 즉 \(x^1\) 항의 계수를 구해야 합니다. 따라서 \(x\)의 지수 부분이 1이 되어야 합니다.
$$ 7 – 2r = 1 $$
이 방정식을 \(r\)에 대해 풉니다.
$$ 2r = 7 – 1 = 6 $$
$$ r = 3 $$
따라서 \(r=3\)일 때 \(x\) 항이 나타납니다.
Step 4: 계수 계산하기
\(r=3\)을 Step 2에서 구한 일반항의 계수 부분 \(_{7}C_{r} 2^{7-2r}\)에 대입하여 계수를 계산합니다.
계수 = \(_{7}C_{3} \times 2^{7-2(3)}\)
$$ = _{7}C_{3} \times 2^{7-6} = _{7}C_{3} \times 2^1 = _{7}C_{3} \times 2 $$
조합 \(_{7}C_{3}\)을 계산합니다.
$$ _{7}C_{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 5 = 35 $$
따라서 최종 계수는:
$$ \text{계수} = 35 \times 2 = 70 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이항정리를 이용하여 \((a+b)^n\) 형태의 다항식 전개식에서 특정 항의 계수를 찾는 전형적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이항정리 일반항: \((a+b)^n\)의 전개식에서 \(r+1\)번째 항(일반항)은 \(T_{r+1} = {_{n}C_{r}} a^{n-r} b^r\)로 표현됩니다.
- 지수 법칙 활용: 일반항을 구할 때, 지수 법칙(\(a^m a^n = a^{m+n}\), \((a^m)^n = a^{mn}\), \(a^{-n} = 1/a^n\))을 이용하여 \(x\)의 거듭제곱과 계수 부분을 명확하게 분리하고 정리하는 것이 중요합니다.
- 조건 만족하는 \(r\) 찾기: 구하고자 하는 항(예: \(x^k\) 항)의 \(x\) 지수(k)와 일반항의 \(x\) 지수를 같다고 놓고 방정식을 풀어 해당 항을 만드는 \(r\) 값을 찾습니다.
- 조합 계산: 이항계수 \(_{n}C_{r}\)을 정확하게 계산합니다.
이러한 단계를 체계적으로 따르면 복잡해 보이는 식의 전개식에서도 원하는 항의 계수를 정확하게 찾을 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(x\)의 계수는 70입니다.
따라서 정답은 ⑤ 70 입니다.