📘 문제 이해 및 풀이 전략
A 학교 전체 학생 300명을 대상으로 연애 경험을 조사했습니다.
- 남학생의 60%가 연애 경험이 있습니다.
- 여학생의 30%가 연애 경험이 있습니다.
- 연애 경험이 있는 학생 중 임의로 1명을 선택했을 때, 그 학생이 남학생일 확률은 \(\frac{4}{7}\)입니다.
이 정보를 이용하여 이 학교의 남학생 수를 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 미지수 설정: 남학생 수를 \(x\)라고 둡니다.
- 관련 집단 크기 표현: 여학생 수, 연애 경험 있는 남학생 수, 연애 경험 있는 여학생 수, 연애 경험 있는 전체 학생 수를 \(x\)를 사용하여 나타냅니다.
- 조건부 확률 이용 방정식 세우기: “연애 경험이 있는 학생 중 남학생일 확률”이 \(\frac{4}{7}\)이라는 조건을 이용하여 \(x\)에 대한 방정식을 세웁니다. 이 조건부 확률은 다음과 같이 표현됩니다:
$$ P(\text{남학생} | \text{연애 경험}) = \frac{\text{연애 경험 있는 남학생 수}}{\text{전체 연애 경험 있는 학생 수}} = \frac{4}{7} $$
- 방정식 풀이: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\) (남학생 수)를 구합니다.
조건부 확률:
사건 B가 일어났을 때 사건 A가 일어날 조건부 확률은 \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) 입니다. 표본 공간이 유한하고 각 근원사건의 확률이 같을 경우, 이는 \( P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \) (사건 B에 속하는 원소 중 사건 A에도 속하는 원소의 비율)로 계산할 수 있습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정 및 관련 학생 수 표현
이 학교의 남학생 수를 \(x\)명이라고 합시다.
전체 학생 수가 300명이므로, 여학생 수는 \(300 – x\)명 입니다.
연애 경험이 있는 남학생 수는 남학생 수의 60%이므로:
$$ x \times \frac{60}{100} = 0.6x \text{ 명} $$
연애 경험이 있는 여학생 수는 여학생 수의 30%이므로:
$$ (300 – x) \times \frac{30}{100} = (300 – x) \times 0.3 = 90 – 0.3x \text{ 명} $$
연애 경험이 있는 전체 학생 수는 연애 경험 있는 남학생 수와 여학생 수의 합이므로:
$$ \text{전체 연애 경험 학생 수} = 0.6x + (90 – 0.3x) = 90 + 0.3x \text{ 명} $$
Step 2: 조건부 확률을 이용한 방정식 세우기
문제에서 “연애를 해본 학생 중 임의로 1명을 선택할 때, 이 학생이 남학생일 확률이 \(\frac{4}{7}\)”라고 주어졌습니다.
이는 조건부 확률 \(P(\text{남학생} | \text{연애 경험})\)을 의미하며, 다음과 같이 식으로 나타낼 수 있습니다.
$$ \frac{\text{연애 경험 있는 남학생 수}}{\text{전체 연애 경험 있는 학생 수}} = \frac{0.6x}{90 + 0.3x} = \frac{4}{7} $$
Step 3: 방정식 풀기
세워진 방정식 \(\frac{0.6x}{90 + 0.3x} = \frac{4}{7}\)을 풉니다.
양변에 \(7 \times (90 + 0.3x)\)를 곱하면 (분수 형태를 없애기 위해 대각선으로 곱함):
$$ 7 \times (0.6x) = 4 \times (90 + 0.3x) $$
괄호를 풀고 계산합니다.
$$ 4.2x = 360 + 1.2x $$
\(x\) 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ 4.2x – 1.2x = 360 $$
$$ 3x = 360 $$
양변을 3으로 나눕니다.
$$ x = \frac{360}{3} = 120 $$
Step 4: 답 확인
따라서 이 학교의 남학생 수 \(x\)는 120명입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 비율과 조건부 확률을 이용하여 미지수를 찾는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 미지수 설정 및 식 표현: 구하고자 하는 값을 미지수(\(x\))로 설정하고, 문제에 주어진 정보(비율, 총합 등)를 이용하여 다른 관련 값들을 \(x\)에 대한 식으로 표현하는 능력.
- 퍼센트(비율) 계산: 주어진 퍼센트를 이용하여 특정 부분의 크기를 계산하는 능력 (\( \text{부분} = \text{전체} \times \text{비율} \)).
- 조건부 확률의 이해 및 활용: 특정 조건 하에서의 확률(\(P(A|B)\))이 주어졌을 때, 이를 경우의 수 또는 확률의 정의(\(\frac{n(A \cap B)}{n(B)}\) 또는 \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\))를 이용하여 방정식으로 변환하는 능력.
- 방정식 풀이: 세워진 방정식을 정확하게 푸는 능력.
문제를 정확히 이해하고, 조건부 확률의 의미를 파악하여 적절한 식으로 표현하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
이 학교의 남학생 수는 120명입니다.
따라서 정답은 ④ 120 입니다.