모의고사 - 확통 - 1060279 - 9번

확률 계산 문제 풀이 (조합 활용)

주어진 6개의 정수 ${-2, -1, 0, 1, 2, 3}$ 중에서 서로 다른 2개의 정수를 선택하여 곱한 값이 음수일 확률을 구하는 문제입니다.

확률은 (사건이 일어나는 경우의 수) / (일어날 수 있는 모든 경우의 수) 로 정의됩니다.

풀이 전략은 다음과 같습니다.

전체 경우의 수 계산: 6개의 정수 중에서 서로 다른 2개를 선택하는 조합의 수를 계산합니다.
사건의 경우의 수 계산: 선택된 두 정수의 곱이 음수가 되는 경우를 찾습니다. 두 수의 곱이 음수가 되려면 하나는 음수이고 다른 하나는 양수여야 합니다. 따라서 주어진 정수들 중 음수 집합과 양수 집합을 나누고, 각 집합에서 하나씩 선택하는 경우의 수를 계산합니다.
확률 계산: 위에서 구한 두 경우의 수를 나누어 확률을 계산합니다.

Step 1: 전체 경우의 수 계산

주어진 6개의 정수 ${-2, -1, 0, 1, 2, 3}$ 중에서 서로 다른 2개의 정수를 선택하는 경우의 수를 구합니다.

이는 조합 공식을 이용하여 계산할 수 있습니다 ($n=6, r=2$).

$$ n(S) = _{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \text{ 가지} $$

따라서 서로 다른 두 정수를 선택하는 모든 경우의 수는 15가지입니다.

Step 2: 곱한 값이 음수인 경우의 수 계산

두 정수의 곱이 음수가 되려면, 선택된 두 정수 중 하나는 음수이고 다른 하나는 양수여야 합니다.

주어진 정수 집합에서 음수와 양수를 분류합니다.

음수 2개 중에서 1개를 선택하고, 동시에 양수 3개 중에서 1개를 선택하는 경우의 수를 구합니다.

곱의 법칙에 따라, 곱한 값이 음수가 되는 경우의 수 $n(A)$는:

$$ n(A) = (\text{음수 선택 경우}) \times (\text{양수 선택 경우}) = _{2}C_{1} \times _{3}C_{1} = 2 \times 3 = 6 \text{ 가지} $$

Step 3: 확률 계산

구하고자 하는 확률 $P(A)$는 (곱한 값이 음수인 경우의 수) / (전체 경우의 수) 입니다.

$$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{15} $$

이 분수를 약분합니다.

$$ P(A) = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5} $$

이 문제는 주어진 집합에서 원소를 선택하는 조합과 기본적인 확률 계산 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.

조합(Combination): 서로 다른 $n$개에서 순서에 상관없이 $r$개를 선택하는 경우의 수를 계산하는 방법입니다. ($_{n}C_{r}$)
확률의 기본 정의: 모든 경우의 수가 동일한 가능성을 가질 때, 특정 사건이 일어날 확률은 (그 사건에 해당하는 경우의 수) / (전체 경우의 수) 입니다.
곱의 부호 조건: 두 수의 곱이 음수가 될 조건은 한 수가 양수이고 다른 수가 음수라는 점을 이해하는 것이 중요합니다. 이를 이용하여 사건에 해당하는 경우의 수를 정확히 세어야 합니다. 0은 양수도 음수도 아니며, 곱셈 결과가 0이 되므로 고려 대상에서 제외됩니다.

선택된 두 정수의 곱이 음수일 확률은 $\frac{2}{5}$입니다.

따라서 정답은 ③ 입니다.

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