📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 사건 \(A\)와 \(B\)가 서로 독립이고, \(P(B) = \frac{3}{5}\), \(P(A \cap B) = \frac{1}{5}\)일 때, 합사건의 확률 \(P(A \cup B)\)를 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 독립 사건의 정의 활용: 두 사건 \(A, B\)가 독립이면 \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)가 성립합니다. 이 성질을 이용하여 \(P(A)\)를 먼저 구합니다.
- 확률의 덧셈정리 활용: 합사건의 확률은 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\) 공식을 이용하여 계산합니다.
- 값 대입 및 계산: 위에서 구한 \(P(A)\)와 주어진 \(P(B)\), \(P(A \cap B)\) 값을 덧셈정리 공식에 대입하여 최종 답을 구합니다.
관련 공식:
- 독립 사건의 정의: 두 사건 \(A, B\)가 독립 \(\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
- 확률의 덧셈정리: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(P(A)\) 구하기
두 사건 \(A\)와 \(B\)가 독립이므로, \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)가 성립합니다.
주어진 값 \(P(A \cap B) = \frac{1}{5}\)과 \(P(B) = \frac{3}{5}\)를 대입합니다.
$$ \frac{1}{5} = P(A) \times \frac{3}{5} $$
\(P(A)\)에 대해 정리하면,
$$ P(A) = \frac{1/5}{3/5} = \frac{1}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{3} $$
따라서 \(P(A) = \frac{1}{3}\) 입니다.
Step 2: \(P(A \cup B)\) 계산하기
확률의 덧셈정리 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)를 이용합니다.
Step 1에서 구한 \(P(A) = \frac{1}{3}\)과 주어진 값 \(P(B) = \frac{3}{5}\), \(P(A \cap B) = \frac{1}{5}\)를 대입합니다.
$$ P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{3}{5} – \frac{1}{5} $$
계산하면,
$$ P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \left( \frac{3}{5} – \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{3} + \frac{2}{5} $$
통분하여 계산합니다.
$$ = \frac{5}{15} + \frac{6}{15} = \frac{11}{15} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 확률의 기본 개념인 독립 사건과 확률의 덧셈정리를 정확히 이해하고 적용하는지를 묻습니다.
- 독립 사건: 두 사건 A, B가 서로 영향을 주지 않는 것을 의미하며, 수식적으로는 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)로 정의됩니다. 이 정의는 미지의 확률값(여기서는 \(P(A)\))을 구하는 데 사용될 수 있습니다.
- 확률의 덧셈정리: 두 사건의 합사건(\(A \cup B\), A 또는 B가 일어날 확률)은 각 사건의 확률의 합에서 교사건(\(A \cap B\), A와 B가 동시에 일어날 확률)의 확률을 뺀 값과 같습니다: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\). 이 공식은 대부분의 합사건 확률 계산에 기본적으로 사용됩니다.
독립 조건이 주어졌을 때 곱셈 관계식을 이용하여 필요한 확률값을 찾고, 이를 덧셈정리에 적용하는 흐름을 기억하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(P(A \cup B) = \frac{11}{15}\)
따라서 정답은 ② 입니다.