📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 사건 \(A\)와 \(B\)가 서로 독립이고, \(P(A \cup B) = \frac{2}{3}\), \(P(B) = \frac{1}{3}\)이며, \(P(A) = k P(A^C)\)를 만족할 때, 상수 \(k\)의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 독립 조건과 덧셈정리 결합: 사건 \(A, B\)가 독립이므로 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)입니다. 이를 확률의 덧셈정리 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)에 대입하여 \(P(A)\)에 대한 식을 만듭니다.
- \(P(A)\) 계산: 위 식에 주어진 \(P(A \cup B)\)와 \(P(B)\) 값을 대입하여 \(P(A)\)에 대한 방정식을 풀어서 \(P(A)\) 값을 구합니다.
- \(P(A^C)\) 계산: 여사건의 확률 공식을 이용하여 \(P(A^C) = 1 – P(A)\)를 계산합니다.
- \(k\) 값 계산: 주어진 관계식 \(P(A) = k P(A^C)\)에 위에서 구한 \(P(A)\)와 \(P(A^C)\) 값을 대입하여 \(k\)를 구합니다.
관련 공식:
- 독립 사건: \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
- 확률의 덧셈정리: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
- 여사건의 확률: \(P(A^C) = 1 – P(A)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(P(A)\)에 대한 방정식 세우기
확률의 덧셈정리는 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\) 입니다.
두 사건 \(A, B\)가 독립이므로 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\) 입니다.
이를 덧셈정리에 대입하면:
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) $$
주어진 값 \(P(A \cup B) = \frac{2}{3}\)과 \(P(B) = \frac{1}{3}\)을 대입합니다.
$$ \frac{2}{3} = P(A) + \frac{1}{3} – P(A) \times \frac{1}{3} $$
Step 2: \(P(A)\) 계산하기
Step 1에서 세운 \(P(A)\)에 대한 방정식을 풉니다.
$$ \frac{2}{3} = \left(1 – \frac{1}{3}\right) P(A) + \frac{1}{3} $$
$$ \frac{2}{3} = \frac{2}{3} P(A) + \frac{1}{3} $$
\(\frac{1}{3}\)을 좌변으로 이항합니다.
$$ \frac{2}{3} – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} P(A) $$
$$ \frac{1}{3} = \frac{2}{3} P(A) $$
양변에 \(\frac{3}{2}\)를 곱하여 \(P(A)\)를 구합니다.
$$ P(A) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2} $$
따라서 \(P(A) = \frac{1}{2}\) 입니다.
Step 3: \(P(A^C)\) 계산하기
여사건의 확률 공식을 이용합니다.
$$ P(A^C) = 1 – P(A) = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$
따라서 \(P(A^C) = \frac{1}{2}\) 입니다.
Step 4: \(k\) 값 계산하기
주어진 관계식 \(P(A) = k P(A^C)\)에 Step 2와 Step 3에서 구한 \(P(A) = \frac{1}{2}\) 와 \(P(A^C) = \frac{1}{2}\) 를 대입합니다.
$$ \frac{1}{2} = k \times \frac{1}{2} $$
이 식을 만족하는 \(k\) 값은 \(k=1\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 확률의 기본 성질과 독립 사건의 정의를 복합적으로 활용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 독립 사건의 정의 및 활용: 두 사건 \(A, B\)가 독립일 때 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)임을 이용하여 확률의 덧셈정리를 \(P(A), P(B)\)만으로 표현할 수 있습니다.
- 확률의 덧셈정리: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)는 합사건의 확률을 구하는 기본적인 공식입니다. 독립 조건과 결합하여 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B)\)로 변형될 수 있습니다.
- 여사건의 확률: 어떤 사건이 일어나지 않을 확률은 1에서 그 사건이 일어날 확률을 뺀 것과 같습니다 (\(P(A^C) = 1 – P(A)\)).
주어진 조건들을 체계적으로 이용하여 미지 확률(\(P(A)\))을 먼저 구하고, 그 다음 여사건의 확률을 계산한 후, 최종적으로 주어진 관계식을 통해 상수 \(k\)를 구하는 단계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
상수 \(k\)의 값은 1입니다.
따라서 정답은 ③ 1 입니다.