📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 사건 \(A\)와 \(B\)가 서로 독립이고, \(P(A|A \cup B) = \frac{1}{2}\), \(P(B) = \frac{1}{3}\)일 때, 사건 \(B\)가 일어나지 않을 때 사건 \(A\)가 일어날 확률, 즉 \(P(A|B^C)\)를 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 독립 사건의 성질 활용 (목표 확률 단순화): \(A\)와 \(B\)가 독립이면, \(A\)와 \(B^C\)도 독립입니다. 이를 이용하여 구하고자 하는 확률 \(P(A|B^C)\)를 간단히 합니다.
- 조건부 확률 정의 적용: 주어진 조건 \(P(A|A \cup B) = \frac{1}{2}\)에 조건부 확률의 정의 \(P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}\)를 적용합니다.
- 교집합 단순화: \(P(A \cap (A \cup B))\)를 간단히 합니다.
- 독립성과 덧셈정리 활용: \(P(A \cup B)\)를 \(P(A)\)와 \(P(B)\)로 나타내기 위해 확률의 덧셈정리와 독립성(\(P(A \cap B) = P(A)P(B)\))을 이용합니다.
- \(P(A)\) 계산: 위의 식들을 결합하여 \(P(A)\)에 대한 방정식을 세우고 풀어 \(P(A)\) 값을 구합니다.
- 최종 답 구하기: Step 1에서 단순화된 목표 확률에 \(P(A)\) 값을 대입합니다.
관련 공식:
- 독립 사건: \(A, B\)가 독립 \(\iff P(A \cap B) = P(A)P(B)\).
또한, \(A, B\)가 독립이면 \(A, B^C\)도 독립, \(A^C, B\)도 독립, \(A^C, B^C\)도 독립이다. - 조건부 확률: \(P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}\) (단, \(P(Y) > 0\))
- 확률의 덧셈정리: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
- 집합의 포함관계와 교집합: 만약 \(A \subseteq Y\) 이면, \(A \cap Y = A\).
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 목표 확률 \(P(A|B^C)\) 단순화하기
사건 \(A\)와 \(B\)가 서로 독립이므로, 사건 \(A\)와 \(B^C\)도 서로 독립입니다.
조건부 확률의 정의에 따라:
$$ P(A|B^C) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)} $$
\(A\)와 \(B^C\)가 독립이므로 \(P(A \cap B^C) = P(A)P(B^C)\) 입니다.
$$ P(A|B^C) = \frac{P(A)P(B^C)}{P(B^C)} $$
\(P(B) = 1/3\)이므로 \(P(B^C) = 1 – P(B) = 1 – 1/3 = 2/3 \neq 0\) 입니다. 따라서 \(P(B^C)\)를 약분할 수 있습니다.
$$ P(A|B^C) = P(A) $$
결국, 문제는 \(P(A)\)를 구하는 것과 같습니다.
(해설 이미지 마지막 부분의 논리와 같습니다.)
Step 2: 주어진 조건 \(P(A|A \cup B) = \frac{1}{2}\) 분석
조건부 확률의 정의를 적용합니다.
$$ P(A|A \cup B) = \frac{P(A \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{1}{2} $$
여기서 분자의 교집합 \(A \cap (A \cup B)\)를 생각해 봅시다. 사건 \(A\)는 항상 사건 \(A \cup B\)에 포함됩니다 (\(A \subseteq A \cup B\)). 따라서 두 사건의 교집합은 \(A\) 그 자체가 됩니다 (\(A \cap (A \cup B) = A\)).
그러므로 위 식은 다음과 같이 간단해집니다.
$$ \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{1}{2} \quad \cdots ① $$
(해설 이미지 중간 부분의 \( \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{1}{2} \) 와 동일합니다.)
Step 3: \(P(A \cup B)\)를 \(P(A)\)로 표현하기
확률의 덧셈정리와 독립성을 이용합니다.
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) $$
\(A, B\)가 독립이므로 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\) 입니다.
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) $$
주어진 \(P(B) = \frac{1}{3}\)을 대입하고, \(P(A)\)를 간단히 \(a\)라고 쓰면 (해설 이미지처럼):
$$ P(A \cup B) = a + \frac{1}{3} – a \times \frac{1}{3} = a + \frac{1}{3} – \frac{a}{3} = \frac{2a}{3} + \frac{1}{3} $$
Step 4: \(P(A)\) 계산하기
Step 3에서 구한 \(P(A \cup B)\) 표현을 Step 2의 식 ①에 대입합니다.
$$ \frac{P(A)}{P(A \cup B)} = \frac{a}{\frac{2a}{3} + \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} $$
이 방정식을 \(a\)에 대해 풉니다.
$$ 2a = 1 \times \left( \frac{2a}{3} + \frac{1}{3} \right) $$
$$ 2a = \frac{2a}{3} + \frac{1}{3} $$
양변에 3을 곱합니다.
$$ 6a = 2a + 1 $$
$$ 4a = 1 $$
$$ a = \frac{1}{4} $$
따라서 \(P(A) = \frac{1}{4}\) 입니다.
Step 5: 최종 답 구하기
Step 1에서 보였듯이 \(P(A|B^C) = P(A)\) 입니다.
Step 4에서 \(P(A) = \frac{1}{4}\)임을 구했습니다.
따라서,
$$ P(A|B^C) = \frac{1}{4} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 독립 사건의 성질과 조건부 확률의 정의를 정확히 이해하고 활용하는 능력을 평가합니다. 핵심 포인트는 다음과 같습니다.
- 독립성과 조건부 확률: 두 사건 \(A, B\)가 독립이면, \(B\)의 발생 여부(\(B\) 또는 \(B^C\))는 \(A\)의 발생 확률에 영향을 주지 않습니다. 즉, \(P(A|B) = P(A)\)이고 \(P(A|B^C) = P(A)\)입니다. 이 문제에서는 이 성질을 이용하여 목표 확률을 \(P(A)\)로 단순화하는 것이 중요했습니다.
- 조건부 확률 정의의 응용: \(P(X|Y) = P(X \cap Y) / P(Y)\) 정의를 주어진 조건 \(P(A|A \cup B)\)에 적용하고, 집합 연산을 통해 분자(\(P(A \cap (A \cup B)) = P(A)\))를 간단히 하는 과정이 필요했습니다.
- 독립성과 덧셈정리의 결합: \(P(A \cup B)\)를 계산할 때, 독립 조건을 이용하여 \(P(A \cap B) = P(A)P(B)\)로 대체함으로써 \(P(A \cup B)\)를 \(P(A)\)와 \(P(B)\)에 대한 식으로 나타낼 수 있습니다.
✅ 최종 정답
사건 \(B\)가 일어나지 않을 때, 사건 \(A\)가 일어날 확률은 \(\frac{1}{4}\)입니다.
따라서 정답은 ① 입니다.