📘 문제 이해 및 풀이 전략
확률변수 \(X\)가 이항분포 \(B(n, \frac{1}{3})\)를 따르고, \(V(2X) = 40\)일 때, 모수 \(n\)의 값을 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 이항분포의 분산 공식 적용: 확률변수 \(X\)가 이항분포 \(B(n, p)\)를 따를 때, 분산 \(V(X) = np(1-p)\)임을 이용하여 \(V(X)\)를 \(n\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 분산의 성질 활용: 분산의 성질 \(V(aX) = a^2 V(X)\)를 이용하여 주어진 \(V(2X)\)를 \(V(X)\)와 연결합니다.
- 방정식 세우기 및 풀이: \(V(2X) = 40\)이라는 정보를 이용하여 \(n\)에 대한 방정식을 세우고 풀어 \(n\)의 값을 구합니다.
관련 공식:
- 이항분포 \(B(n, p)\)의 분산: \(V(X) = np(1-p)\)
- 분산의 성질: 상수 \(a\)에 대하여 \(V(aX) = a^2 V(X)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(V(X)\) 계산하기
확률변수 \(X\)는 이항분포 \(B(n, \frac{1}{3})\)를 따릅니다.
여기서 시행 횟수는 \(n\), 성공 확률 \(p = \frac{1}{3}\)입니다.
실패 확률 \(1-p\)는 \(1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) 입니다.
이항분포의 분산 공식 \(V(X) = np(1-p)\)를 적용하면:
$$ V(X) = n \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2n}{9} $$
Step 2: \(V(2X)\)를 \(V(X)\)로 표현하고 방정식 세우기
분산의 성질 \(V(aX) = a^2 V(X)\)에서 \(a=2\)를 적용하면:
$$ V(2X) = 2^2 V(X) = 4 V(X) $$
Step 1에서 구한 \(V(X) = \frac{2n}{9}\)을 대입합니다.
$$ V(2X) = 4 \times \left(\frac{2n}{9}\right) = \frac{8n}{9} $$
문제에서 \(V(2X) = 40\)이라고 주어졌으므로, 다음 방정식을 세울 수 있습니다.
$$ \frac{8n}{9} = 40 $$
Step 3: \(n\) 값 구하기
방정식 \(\frac{8n}{9} = 40\)을 \(n\)에 대해 풉니다.
양변에 \(\frac{9}{8}\)를 곱합니다.
$$ n = 40 \times \frac{9}{8} $$
계산하면:
$$ n = (40 \div 8) \times 9 = 5 \times 9 = 45 $$
따라서 \(n = 45\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이항분포의 분산과 분산의 기본 성질을 정확히 알고 적용하는지를 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이항분포 \(B(n, p)\): 독립적인 베르누이 시행을 \(n\)번 반복할 때 성공 횟수를 나타내는 확률분포입니다. 모수는 시행 횟수 \(n\)과 성공 확률 \(p\)입니다.
- 기댓값(평균): \(E(X) = np\)
- 분산: \(V(X) = np(1-p)\)
- 분산의 성질: 확률변수 \(X\)와 상수 \(a, b\)에 대해 다음과 같은 성질이 성립합니다.
- \(V(aX) = a^2 V(X)\)
- \(V(X+b) = V(X)\)
- \(V(aX+b) = a^2 V(X)\)
이항분포의 분산 공식을 기억하고, 분산의 성질을 올바르게 적용하여 방정식을 세우고 푸는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(n = 45\)
따라서 정답은 ④ 45 입니다.