📘 문제 이해 및 풀이 전략
확률변수 \(X\)의 확률분포표가 주어졌고, 확률 값 중 일부가 상수 \(a\)로 표현되어 있습니다. 목표는 \(E(9X)\)의 값을 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 확률의 총합 이용: 확률분포표에서 모든 확률의 합은 1이어야 합니다. 이 성질을 이용하여 상수 \(a\)의 값을 구합니다. (단, 확률 값은 항상 0 이상이어야 하므로 \(a \ge 0\)입니다.)
- 기댓값 \(E(X)\) 계산: 확률변수 \(X\)의 기댓값(평균)은 \(E(X) = \sum x_i P(X=x_i)\) 공식을 이용하여 계산합니다. 위에서 구한 \(a\) 값을 사용합니다.
- 기댓값의 성질 활용: 기댓값의 성질 \(E(cX) = cE(X)\) (단, \(c\)는 상수)를 이용하여 \(E(9X)\)를 계산합니다.
관련 공식:
- 확률의 총합: \(\sum P(X=x_i) = 1\)
- 이산확률변수 \(X\)의 기댓값: \(E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)\)
- 기댓값의 성질: 상수 \(c\)에 대하여 \(E(cX) = cE(X)\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 상수 \(a\) 값 구하기
확률분포표에서 모든 확률의 합은 1입니다.
$$ P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1 $$
주어진 확률 값을 대입합니다.
$$ \frac{5}{9} + a + a^2 = 1 $$
이 식을 \(a\)에 대한 이차방정식으로 정리합니다.
$$ a^2 + a + \frac{5}{9} – 1 = 0 $$
$$ a^2 + a – \frac{4}{9} = 0 $$
양변에 9를 곱하여 계수를 정수로 만듭니다.
$$ 9a^2 + 9a – 4 = 0 $$
이차방정식을 인수분해합니다.
$$ (3a + 4)(3a – 1) = 0 $$
따라서 \(a = -\frac{4}{3}\) 또는 \(a = \frac{1}{3}\) 입니다.
\(a\)는 확률 \(P(X=2)\)를 나타내므로 음수일 수 없습니다 (\(a \ge 0\)). 그러므로 \(a = \frac{1}{3}\) 입니다.
(이때 \(P(X=3) = a^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}\)도 0 이상이므로 유효합니다.)
Step 2: 기댓값 \(E(X)\) 계산하기
\(a = \frac{1}{3}\) 이므로, 확률분포는 다음과 같습니다.
- \(P(X=1) = \frac{5}{9}\)
- \(P(X=2) = a = \frac{1}{3}\)
- \(P(X=3) = a^2 = \frac{1}{9}\)
기댓값 \(E(X)\)를 계산합니다.
$$ E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2)) + (3 \times P(X=3)) $$
$$ E(X) = \left(1 \times \frac{5}{9}\right) + \left(2 \times \frac{1}{3}\right) + \left(3 \times \frac{1}{9}\right) $$
$$ = \frac{5}{9} + \frac{2}{3} + \frac{3}{9} $$
통분하여 계산합니다.
$$ = \frac{5}{9} + \frac{6}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5+6+3}{9} = \frac{14}{9} $$
따라서 \(E(X) = \frac{14}{9}\) 입니다.
Step 3: \(E(9X)\) 계산하기
기댓값의 성질 \(E(cX) = cE(X)\)에서 \(c=9\)를 적용합니다.
$$ E(9X) = 9 E(X) $$
Step 2에서 구한 \(E(X) = \frac{14}{9}\)를 대입합니다.
$$ E(9X) = 9 \times \frac{14}{9} = 14 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이산확률변수의 확률분포표가 주어졌을 때, 기댓값을 계산하는 기본적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 확률의 기본 성질: 확률분포표에서 모든 확률의 합은 1입니다. 이를 이용하여 미지수(여기서는 \(a\))를 구할 수 있습니다. 또한 각 확률 값은 0 이상 1 이하 (\(0 \le P(X=x_i) \le 1\))이어야 합니다.
- 기댓값(Expected Value): 이산확률변수 \(X\)의 기댓값은 각 변수 값(\(x_i\))에 해당하는 확률(\(P(X=x_i)\))을 곱하여 모두 더한 값입니다 (\(E(X) = \sum x_i P(X=x_i)\)). 이는 확률분포의 평균적인 값을 나타냅니다.
- 기댓값의 선형성: 상수 \(a, b\)와 확률변수 \(X\)에 대해 \(E(aX+b) = aE(X)+b\)가 성립합니다. 이 문제에서는 \(E(9X) = 9E(X)\) (\(a=9, b=0\)인 경우)를 사용했습니다.
확률의 총합 조건을 이용하여 확률분포를 완성하고, 기댓값의 정의와 성질을 정확히 적용하여 계산하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
\(E(9X) = 14\)
따라서 정답은 ① 14 입니다.