📘 문제 이해 및 풀이 전략
흰 공 3개와 검은 공 2개, 총 5개의 공을 숫자 1부터 5까지 적힌 5개의 상자에 하나씩 임의로 넣습니다. 확률변수 \(X\)는 흰 공이 들어간 상자에 적힌 숫자 중 두 번째로 큰 수로 정의됩니다. 목표는 \(P(X = 3)\)의 값을 구하는 것입니다.
확률은 (사건이 일어나는 경우의 수) / (일어날 수 있는 모든 경우의 수) 로 계산합니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 전체 경우의 수 계산: 5개의 상자 중 흰 공 3개를 넣을 상자 3개를 선택하는 경우의 수를 계산합니다. (나머지 2개 상자에는 검은 공이 들어갑니다.)
- 사건의 경우의 수 분석: \(X = 3\)이라는 사건이 의미하는 바를 분석합니다. 이는 흰 공이 들어간 3개의 상자 번호 중 두 번째로 큰 수가 3이어야 함을 의미합니다.
- 사건의 경우의 수 계산: 위 분석을 바탕으로, \(X = 3\)이 되도록 흰 공을 넣을 상자 3개를 선택하는 구체적인 경우의 수를 계산합니다.
- 확률 계산: (사건의 경우의 수) / (전체 경우의 수) 를 계산합니다.
관련 공식:
- 조합: 서로 다른 \(n\)개에서 순서 없이 \(r\)개를 선택하는 경우의 수 \(_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
- 확률의 정의: \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\) (\(n(A)\): 사건 A의 경우의 수, \(n(S)\): 전체 경우의 수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 전체 경우의 수 계산
5개의 상자 중에서 흰 공 3개를 넣을 상자 3개를 선택하는 경우의 수와 같습니다.
이는 조합 공식을 이용하여 계산합니다 (\(n=5, r=3\)).
$$ n(S) = _{5}C_{3} = _{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \text{ 가지} $$
따라서 5개의 공을 5개의 상자에 넣는 전체 방법의 수 (흰 공 기준)는 10가지입니다.
Step 2: 사건 \(X = 3\) 분석
\(X\)는 흰 공이 들어간 3개 상자의 번호 중 두 번째로 큰 수입니다. \(X = 3\)이 되려면 다음 조건을 만족해야 합니다.
- 흰 공 하나는 반드시 상자 3에 들어가야 합니다.
- 나머지 흰 공 두 개 중 하나는 상자 3보다 작은 번호의 상자에 들어가야 합니다. (즉, 상자 1 또는 상자 2 중 하나)
- 나머지 흰 공 하나는 상자 3보다 큰 번호의 상자에 들어가야 합니다. (즉, 상자 4 또는 상자 5 중 하나)
예를 들어 흰 공이 {1, 3, 4}번 상자에 들어가면, 숫자는 1, 3, 4이고 두 번째로 큰 수는 3이므로 \(X=3\)입니다.
Step 3: 사건 \(X = 3\)의 경우의 수 계산
Step 2의 분석에 따라 경우의 수를 계산합니다.
- 상자 3은 반드시 선택되어야 합니다. (1가지)
- 상자 3보다 작은 번호 {1, 2} 중에서 1개의 상자를 선택해야 합니다: \(_{2}C_{1} = 2\) 가지
- 상자 3보다 큰 번호 {4, 5} 중에서 1개의 상자를 선택해야 합니다: \(_{2}C_{1} = 2\) 가지
곱의 법칙에 따라, \(X = 3\)이 되는 경우의 수 \(n(A)\)는:
$$ n(A) = (\text{작은 번호 선택}) \times (\text{큰 번호 선택}) = _{2}C_{1} \times _{2}C_{1} = 2 \times 2 = 4 \text{ 가지} $$
(구체적인 조합은 {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5} 입니다.)
Step 4: 확률 계산
구하고자 하는 확률 \(P(X=3)\)는 (사건 \(X=3\)의 경우의 수) / (전체 경우의 수) 입니다.
$$ P(X=3) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{10} $$
이 분수를 약분합니다.
$$ P(X=3) = \frac{2}{5} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 확률변수가 특정 조건을 만족하는 확률을 구하는 문제입니다. 해결 과정에서 조합과 확률의 기본 정의를 사용했습니다.
- 조합(Combination): 전체 경우의 수나 특정 사건의 경우의 수를 계산할 때, 순서 없이 몇 개를 선택하는 상황에서 유용하게 사용됩니다. 이 문제에서는 5개의 상자 중 3개를 선택하는 데 조합을 사용했습니다.
- 확률변수의 이해: 확률변수 \(X\)가 무엇을 의미하는지 정확히 이해하는 것이 중요합니다. 여기서는 “흰 공이 들어간 상자 번호 중 두 번째로 큰 수”라는 정의를 바탕으로 \(X=3\)이 되는 구체적인 조건을 파악해야 했습니다.
- 경우의 수 분할 및 계산: 특정 사건(\(X=3\))이 일어나기 위한 조건을 분석하고, 이를 만족하는 경우의 수를 체계적으로 계산하는 능력이 필요합니다. 이 문제에서는 “3번 상자 포함”, “3보다 작은 번호 중 하나 선택”, “3보다 큰 번호 중 하나 선택”으로 나누어 계산했습니다.
✅ 최종 정답
\(P(X=3) = \frac{2}{5}\)
따라서 정답은 ③ 입니다.