📘 문제 이해 및 풀이 전략
어느 공장에서 생산되는 에어컨 필터 1개의 수명은 평균 720시간, 표준편차 12시간인 정규분포를 따른다고 합니다. 이 공장에서 생산된 에어컨 필터 중 임의로 택한 1개의 수명이 714시간 이상 732시간 이하일 확률을 주어진 표준정규분포표를 이용하여 구하는 문제입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 정규분포 설정: 에어컨 필터 수명을 확률변수 \(X\)라 하고, \(X\)가 따르는 정규분포 \(N(720, 12^2)\)를 명시합니다.
- 표준화: 확률을 계산하기 위해 확률변수 \(X\)를 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)로 표준화합니다. \(Z = \frac{X – \mu}{\sigma}\) 공식을 사용합니다.
- 확률 식 변환: 구하고자 하는 확률 \(P(714 \le X \le 732)\)을 \(Z\)에 대한 확률 식으로 변환합니다.
- 표준정규분포표 활용: 변환된 \(Z\)에 대한 확률 식을 표준정규분포의 대칭성과 표를 이용하여 계산합니다.
관련 공식:
- 정규분포 \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)
- 표준화: \(Z = \frac{X – \mu}{\sigma}\), 여기서 \(Z \sim N(0, 1)\)
- 표준정규분포의 성질:
- \(P(Z \le 0) = P(Z \ge 0) = 0.5\)
- \(P(-z \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le z)\) (대칭성)
- \(P(a \le Z \le b) = P(0 \le Z \le b) – P(0 \le Z \le a)\) (단, \(0 < a < b\))
- \(P(-a \le Z \le b) = P(-a \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le b) = P(0 \le Z \le a) + P(0 \le Z \le b)\) (단, \(a, b > 0\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 확률변수 정의 및 표준화
에어컨 필터 1개의 수명을 확률변수 \(X\)라고 하면, \(X\)는 정규분포 \(N(720, 12^2)\)를 따릅니다. 즉, 평균 \(\mu = 720\), 표준편차 \(\sigma = 12\) 입니다.
\(X\)를 표준화하여 표준정규분포를 따르는 확률변수 \(Z\)로 변환합니다.
$$ Z = \frac{X – 720}{12} $$
\(Z\)는 표준정규분포 \(N(0, 1)\)을 따릅니다.
Step 2: 구하고자 하는 확률을 \(Z\)에 대한 확률로 변환
우리가 구하려는 확률은 \(P(714 \le X \le 732)\) 입니다.
\(X\)의 값들을 \(Z\) 값으로 표준화합니다.
- \(X = 714\) 일 때: \(Z = \frac{714 – 720}{12} = \frac{-6}{12} = -0.5\)
- \(X = 732\) 일 때: \(Z = \frac{732 – 720}{12} = \frac{12}{12} = 1.0\)
따라서 구하는 확률은 다음과 같이 변환됩니다.
$$ P(714 \le X \le 732) = P(-0.5 \le Z \le 1.0) $$
Step 3: 표준정규분포표를 이용하여 확률 계산
확률 \(P(-0.5 \le Z \le 1.0)\)를 \(Z=0\)을 기준으로 두 부분으로 나눕니다.
$$ P(-0.5 \le Z \le 1.0) = P(-0.5 \le Z \le 0) + P(0 \le Z \le 1.0) $$
표준정규분포는 \(Z=0\)에 대해 대칭이므로, \(P(-0.5 \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le 0.5)\) 입니다.
따라서,
$$ P(-0.5 \le Z \le 1.0) = P(0 \le Z \le 0.5) + P(0 \le Z \le 1.0) $$
주어진 표준정규분포표에서 해당 확률 값을 찾습니다.
- \(z=0.5\)일 때 \(P(0 \le Z \le 0.5) = 0.1915\)
- \(z=1.0\)일 때 \(P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413\)
이제 두 확률 값을 더합니다.
$$ P(-0.5 \le Z \le 1.0) = 0.1915 + 0.3413 = 0.5328 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 정규분포를 따르는 확률변수에 대해 특정 구간의 확률을 계산하는 전형적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정규분포와 표준화: 평균 \(\mu\), 표준편차 \(\sigma\)인 정규분포 \(N(\mu, \sigma^2)\)를 따르는 확률변수 \(X\)는 표준화 공식 \(Z = (X-\mu)/\sigma\)를 통해 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포 \(N(0, 1)\)를 따르는 \(Z\)로 변환됩니다. 이는 서로 다른 정규분포를 동일한 기준으로 비교하고 확률을 계산할 수 있게 합니다.
- 표준정규분포표 활용: 표준화된 변수 \(Z\)에 대한 확률은 표준정규분포표를 참조하여 구할 수 있습니다. 표는 보통 \(P(0 \le Z \le z)\) 또는 \(P(Z \le z)\) 형태의 값을 제공하며, 문제에서 요구하는 확률 구간(\(P(a \le Z \le b)\), \(P(Z \ge c)\) 등)에 맞게 표의 값과 대칭성 등 표준정규분포의 성질을 이용하여 계산해야 합니다.
표준화 과정을 정확히 거치고, 표준정규분포의 성질을 이용하여 확률 구간을 표에서 찾을 수 있는 형태로 변환하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
구하는 확률은 0.5328입니다.
따라서 정답은 ② 0.5328 입니다.