📘 문제 이해 및 풀이 전략
모집단의 확률분포표가 주어져 있고, 이 모집단에서 크기가 4인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 \(\bar{X}\)의 기댓값 \(E(\bar{X}) = \frac{5}{6}\)라는 정보가 있습니다. 목표는 확률분포표의 미지수 \(a, b\)를 이용하여 \(a + 2b\)의 값을 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 확률의 총합 이용: 확률분포표에서 모든 확률의 합은 1이어야 합니다. 이를 이용하여 \(a\)와 \(b\) 사이의 관계식을 하나 얻습니다.
- 모평균 \(E(X)\) 계산: 모집단의 기댓값(모평균) \(E(X)\)를 확률분포표를 이용하여 \(a\)와 \(b\)에 대한 식으로 계산합니다. \(E(X) = \sum x_i P(X=x_i)\).
- 표본평균의 기댓값 성질 활용: 표본평균의 기댓값은 모평균과 같습니다(\(E(\bar{X}) = E(X)\)). 이 성질과 주어진 \(E(\bar{X})\) 값을 이용하여 \(E(X)\) 값을 확정합니다.
- \(a+2b\) 값 구하기: \(E(X)\)를 계산하는 과정에서 \(a+2b\) 형태가 나타나는지 확인하고, \(E(X)\)의 확정된 값을 이용하여 \(a+2b\)의 값을 구합니다.
관련 공식:
- 확률의 총합: \(\sum P(X=x_i) = 1\)
- 이산확률변수 \(X\)의 기댓값 (모평균 \(\mu\)): \(E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)\)
- 표본평균(\(\bar{X}\))의 기댓값: \(E(\bar{X}) = E(X) = \mu\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 확률의 총합 조건 적용
주어진 확률분포표에서 확률의 총합은 1이어야 합니다.
$$ P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1 $$
확률 값을 대입합니다.
$$ \frac{1}{3} + a + b = 1 $$
\(a\)와 \(b\)에 대한 관계식을 얻습니다.
$$ a + b = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \quad \cdots ① $$
Step 2: 모평균 \(E(X)\) 계산하기
모집단의 기댓값(모평균) \(E(X)\)를 계산합니다.
$$ E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = (0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2)) $$
값을 대입합니다.
$$ E(X) = \left(0 \times \frac{1}{3}\right) + (1 \times a) + (2 \times b) $$
$$ E(X) = 0 + a + 2b = a + 2b $$
Step 3: \(E(\bar{X})\) 정보 활용하기
표본평균의 기댓값은 모평균과 같습니다.
$$ E(\bar{X}) = E(X) $$
문제에서 \(E(\bar{X}) = \frac{5}{6}\)라고 주어졌으므로,
$$ E(X) = \frac{5}{6} $$
Step 4: \(a + 2b\) 값 구하기
Step 2에서 \(E(X) = a + 2b\) 임을 계산했고, Step 3에서 \(E(X) = \frac{5}{6}\) 임을 알았습니다.
따라서 두 식을 결합하면,
$$ a + 2b = \frac{5}{6} $$
문제에서 요구하는 값은 \(a + 2b\) 이므로, 답은 \(\frac{5}{6}\) 입니다.
(이 문제를 푸는 데 Step 1에서 구한 식 \(a+b = 2/3\)이나 표본 크기 \(n=4\)는 필요하지 않았습니다.)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이산확률분포와 표본평균의 기댓값에 대한 기본적인 이해를 묻고 있습니다.
- 확률분포표의 성질: 확률분포표에서 모든 확률의 합은 항상 1입니다. (\(\sum P(X=x_i) = 1\))
- 모평균(기댓값): 이산확률변수의 기댓값은 각 변수 값과 그 확률을 곱하여 모두 더한 값입니다 (\(E(X) = \sum x_i P(X=x_i)\)).
- 표본평균의 기댓값: 어떤 모집단에서 크기 \(n\)인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균 \(\bar{X}\)의 기댓값은 모평균과 같습니다 (\(E(\bar{X}) = E(X) = \mu\)). 이 성질은 표본의 크기 \(n\)과 관계없이 항상 성립합니다.
문제에서 \(a+2b\)를 직접적으로 묻고 있고, \(E(X)\)를 계산하는 과정에서 \(a+2b\)가 바로 나타나므로, \(a\)와 \(b\)를 각각 구할 필요 없이 답을 찾을 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(a + 2b = \frac{5}{6}\)
따라서 정답은 ⑤ 입니다.