📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 \(x, y\)에 대한 이차식 \(x^2+7xy+12y^2-x-7y+k-7\)이 \(x, y\)에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 상수 \(k\)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하는 일반적인 전략은 주어진 이차식을 하나의 문자(예: \(x\))에 대해 내림차순으로 정리하고, 이를 \(x\)에 대한 이차방정식으로 간주하여 판별식을 이용하는 것입니다.
- \(x\)에 대해 정리: 주어진 이차식을 \(x\)에 대한 이차항, 일차항, 상수항으로 묶어 정리합니다. \(Ax^2 + Bx + C\) 꼴 (여기서 \(A, B, C\)는 \(y\)에 대한 식).
- \(x\)에 대한 판별식 \(D_x\) 계산: \(x\)에 대한 이차방정식 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)의 판별식 \(D_x = B^2 – 4AC\)를 계산합니다. 이 \(D_x\)는 \(y\)에 대한 식이 됩니다.
- \(D_x\)가 완전제곱식이 될 조건: 주어진 이차식이 \(x, y\)에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면, 근의 공식에서 \(\sqrt{D_x}\) 부분이 \(y\)에 대한 일차식이 되어야 합니다. 즉, \(D_x\)가 \(y\)에 대한 완전제곱식이 되어야 합니다.
- \(D_x\)의 판별식 \(D_y = 0\) 적용: \(y\)에 대한 이차식인 \(D_x\)가 완전제곱식이 될 조건은 \(D_x\)를 \(y\)에 대한 이차방정식으로 보았을 때, 그 판별식(\(D_y\)라고 하자)이 0이 되어야 합니다 (\(D_y = 0\)).
- \(k\) 값 계산: \(D_y = 0\) 이라는 조건을 이용하여 \(k\)에 대한 방정식을 풀어서 \(k\) 값을 구합니다.
관련 공식:
- 이차방정식 \(ax^2+bx+c=0\)의 판별식: \(D = b^2 – 4ac\)
- 이차식 \(Ay^2+By+C\)가 완전제곱식이 될 조건: 판별식 \(D = B^2 – 4AC = 0\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 이차식을 \(x\)에 대해 내림차순으로 정리
주어진 식 \(x^2+7xy+12y^2-x-7y+k-7\)을 \(x\)에 대해 정리합니다.
$$ x^2 + (7y – 1)x + (12y^2 – 7y + k – 7) $$
이 식을 \(x\)에 대한 이차식 \(Ax^2 + Bx + C\)로 보면,
- \(A = 1\)
- \(B = 7y – 1\)
- \(C = 12y^2 – 7y + k – 7\)
Step 2: \(x\)에 대한 판별식 \(D_x\) 계산
이차식을 \(x\)에 대한 이차방정식 \(x^2 + (7y – 1)x + (12y^2 – 7y + k – 7) = 0\)으로 생각하고 판별식 \(D_x = B^2 – 4AC\)를 계산합니다.
$$ D_x = (7y – 1)^2 – 4(1)(12y^2 – 7y + k – 7) $$
전개하여 \(y\)에 대해 정리합니다.
$$ D_x = (49y^2 – 14y + 1) – (48y^2 – 28y + 4k – 28) $$
$$ = 49y^2 – 14y + 1 – 48y^2 + 28y – 4k + 28 $$
$$ = (49 – 48)y^2 + (-14 + 28)y + (1 + 28 – 4k) $$
$$ D_x = y^2 + 14y – 4k + 29 $$
Step 3: \(D_x\)가 완전제곱식이 될 조건 적용 (\(D_y = 0\))
주어진 이차식이 \(x, y\)에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면, \(x\)에 대한 판별식 \(D_x = y^2 + 14y – 4k + 29\)가 \(y\)에 대한 완전제곱식이 되어야 합니다.
\(y\)에 대한 이차식 \(D_x\)가 완전제곱식이 되려면, \(D_x\)를 \(y\)에 대한 이차방정식으로 보았을 때 판별식(\(D_y\))이 0이어야 합니다.
\(D_x = y^2 + 14y + (-4k + 29)\) 에서 \(y\)의 계수가 짝수(14)이므로, 짝수 판별식 \(D_y/4\)를 사용합니다.
\(y\)에 대한 이차식 \(Ay^2 + 2B’y + C\) 꼴에서 \(A=1, 2B’=14 \implies B’=7, C = -4k + 29\) 입니다.
$$ D_y/4 = (B’)^2 – AC = 0 $$
$$ (7)^2 – (1)(-4k + 29) = 0 $$
Step 4: \(k\) 값 계산
판별식 \(D_y/4 = 0\) 방정식을 풉니다.
$$ 49 – (-4k + 29) = 0 $$
$$ 49 + 4k – 29 = 0 $$
$$ 4k + 20 = 0 $$
$$ 4k = -20 $$
$$ k = -5 $$
🧠 마무리 개념 정리
\(x, y\)에 대한 이차식이 두 일차식의 곱으로 인수분해될 조건을 묻는 문제는 판별식을 두 번 사용하는 전형적인 유형입니다.
- 주어진 식을 한 문자(예: \(x\))에 대해 내림차순으로 정리하여 \(Ax^2+Bx+C=0\) 형태로 봅니다.
- 이 \(x\)에 대한 방정식의 판별식 \(D_x = B^2-4AC\)를 계산합니다. \(D_x\)는 다른 문자(\(y\))에 대한 이차식이 됩니다.
- 원래 식이 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면, 근의 공식 \(\frac{-B \pm \sqrt{D_x}}{2A}\)에서 \(\sqrt{D_x}\) 부분이 \(y\)에 대한 일차식이 되어야 하므로, \(D_x\)는 \(y\)에 대한 완전제곱식이 되어야 합니다.
- \(y\)에 대한 이차식 \(D_x\)가 완전제곱식이 될 조건은 \(D_x\) 자체를 \(y\)에 대한 이차방정식으로 보고 그 판별식 \(D_y\)가 0이 되는 것입니다 (\(D_y=0\)).
- \(D_y=0\) 조건을 풀면 미지수(이 문제에서는 \(k\))의 값을 구할 수 있습니다.
이 “판별식의 판별식이 0이다” (\(D_y(D_x)=0\)) 방법을 기억하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
상수 \(k\)의 값은 \(-5\) 입니다.
\(-5\)