📘 문제 이해 및 풀이 전략
상수 \(a_0, a_1, \dots, a_{10}\)에 대하여 등식 \((x^2 + x – 1)^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{10}x^{10}\)이 \(x\)에 대한 항등식일 때, 짝수 첨자 계수의 합 \(a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10}\)의 값을 구하는 문제입니다.
이러한 유형의 문제는 항등식의 성질을 이용하여 수치 대입법으로 해결하는 것이 일반적입니다.
- \(x=1\) 대입: 항등식의 양변에 \(x=1\)을 대입하면 우변은 모든 계수의 합(\(a_0 + a_1 + \dots + a_{10}\))이 됩니다.
- \(x=-1\) 대입: 항등식의 양변에 \(x=-1\)을 대입하면 우변은 계수의 부호가 번갈아 나타나는 합(\(a_0 – a_1 + a_2 – \dots + a_{10}\))이 됩니다.
- 두 결과 연립: \(x=1\) 대입 결과와 \(x=-1\) 대입 결과를 더하면 홀수 첨자 계수(\(a_1, a_3, \dots\))가 소거되고, 짝수 첨자 계수의 합의 2배가 남게 됩니다.
항등식 \(P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i\) 에 대하여:
- 모든 계수의 합: \(P(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_n\)
- 교대 부호 계수 합: \(P(-1) = a_0 – a_1 + a_2 – \dots + (-1)^n a_n\)
- 짝수 첨자 계수 합: \(\frac{P(1) + P(-1)}{2} = a_0 + a_2 + a_4 + \dots\)
- 홀수 첨자 계수 합: \(\frac{P(1) – P(-1)}{2} = a_1 + a_3 + a_5 + \dots\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(x = 1\) 대입
주어진 항등식 \((x^2 + x – 1)^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{10}x^{10}\)에 \(x = 1\)을 대입합니다.
좌변(LHS):
$$ (1^2 + 1 – 1)^5 = (1 + 1 – 1)^5 = 1^5 = 1 $$
우변(RHS):
$$ a_0 + a_1(1) + a_2(1)^2 + \dots + a_{10}(1)^{10} = a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{10} $$
LHS = RHS 이므로,
$$ a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = 1 \quad \cdots ① $$
Step 2: \(x = -1\) 대입
항등식에 \(x = -1\)을 대입합니다.
좌변(LHS):
$$ ((-1)^2 + (-1) – 1)^5 = (1 – 1 – 1)^5 = (-1)^5 = -1 $$
우변(RHS):
$$ a_0 + a_1(-1) + a_2(-1)^2 + a_3(-1)^3 + \dots + a_{10}(-1)^{10} $$
$$ = a_0 – a_1 + a_2 – a_3 + \dots + a_{10} $$
LHS = RHS 이므로,
$$ a_0 – a_1 + a_2 – a_3 + \dots + a_{10} = -1 \quad \cdots ② $$
Step 3: 두 식 더하기
Step 1에서 얻은 식 ①과 Step 2에서 얻은 식 ②를 더합니다.
$$ (a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{10}) + (a_0 – a_1 + a_2 – \dots + a_{10}) = 1 + (-1) $$
좌변을 정리하면 홀수 첨자 항(\(a_1, a_3, \dots\))이 소거됩니다.
$$ (a_0 + a_0) + (a_1 – a_1) + (a_2 + a_2) + \dots + (a_{10} + a_{10}) = 0 $$
$$ 2a_0 + 2a_2 + 2a_4 + 2a_6 + 2a_8 + 2a_{10} = 0 $$
2로 묶습니다.
$$ 2(a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10}) = 0 $$
Step 4: 짝수 첨자 계수의 합 구하기
양변을 2로 나눕니다.
$$ a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = 0 $$
🧠 마무리 개념 정리
다항식 항등식에서 계수들의 합, 특히 모든 계수의 합이나 짝수/홀수 첨자 계수의 합을 구할 때는 수치 대입법이 매우 유용합니다.
- 모든 계수의 합(\(\sum a_i\)): 항등식에 \(x=1\)을 대입하여 구합니다. (\(P(1)\))
- 교대 부호 계수 합(\(\sum (-1)^i a_i\)): 항등식에 \(x=-1\)을 대입하여 구합니다. (\(P(-1)\))
- 짝수 첨자 계수의 합(\(a_0 + a_2 + \dots\)): \(\frac{P(1) + P(-1)}{2}\) 로 구합니다.
- 홀수 첨자 계수의 합(\(a_1 + a_3 + \dots\)): \(\frac{P(1) – P(-1)}{2}\) 로 구합니다.
이 문제는 짝수 첨자 계수의 합을 묻고 있으므로 \(x=1\)과 \(x=-1\)을 대입한 결과를 더하여 2로 나누는 공식을 바로 적용할 수도 있습니다.
✅ 최종 정답
\(a_0 + a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = 0\)
따라서 정답은 ② 입니다.