📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x)\)를 \(x-4\)로 나누었을 때의 나머지가 1이고, 다항식 \(Q(x)\)를 \(x-4\)로 나누었을 때의 나머지가 -3이라고 주어졌습니다. 목표는 다항식 \(3P(x) – 2Q(x)\)를 \(x-4\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 것입니다.
이 문제는 나머지 정리를 이용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
- 나머지 정리 적용:
- \(P(x)\)를 \(x-4\)로 나눈 나머지가 1이라는 것은 \(P(4) = 1\)임을 의미합니다.
- \(Q(x)\)를 \(x-4\)로 나눈 나머지가 -3이라는 것은 \(Q(4) = -3\)임을 의미합니다.
- 목표 나머지 구하기: 다항식 \(R(x) = 3P(x) – 2Q(x)\)를 \(x-4\)로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해 \(R(4)\)와 같습니다.
- 값 대입: \(R(4) = 3P(4) – 2Q(4)\)에 위에서 구한 \(P(4)\)와 \(Q(4)\) 값을 대입하여 나머지를 계산합니다.
나머지 정리:
다항식 \(F(x)\)를 일차식 \(x-c\)로 나누었을 때의 나머지는 \(F(c)\)이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 조건을 나머지 정리로 해석
나머지 정리에 따라,
- 다항식 \(P(x)\)를 \(x-4\)로 나누었을 때의 나머지가 1이므로, \(P(4) = 1\)입니다.
- 다항식 \(Q(x)\)를 \(x-4\)로 나누었을 때의 나머지가 -3이므로, \(Q(4) = -3\)입니다.
Step 2: 구하고자 하는 나머지를 나머지 정리로 표현
우리가 구하려는 것은 다항식 \(3P(x) – 2Q(x)\)를 \(x-4\)로 나누었을 때의 나머지입니다.
나머지 정리에 의해, 이 나머지는 \(x=4\)를 다항식 \(3P(x) – 2Q(x)\)에 대입한 값과 같습니다.
$$ \text{나머지} = 3P(4) – 2Q(4) $$
Step 3: 나머지 계산
Step 1에서 구한 \(P(4) = 1\)과 \(Q(4) = -3\)을 Step 2의 식에 대입합니다.
$$ \text{나머지} = 3(1) – 2(-3) $$
$$ = 3 – (-6) = 3 + 6 = 9 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 나머지 정리의 가장 기본적인 활용을 보여줍니다.
- 다항식 \(F(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(F(c)\)와 같다.
- 나머지 정리는 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서도 성립합니다. 즉, \(P(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지가 \(R_1\), \(Q(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지가 \(R_2\)일 때,
- \(P(x) + Q(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(P(c) + Q(c) = R_1 + R_2\).
- \(kP(x)\) (단, \(k\)는 상수)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(kP(c) = kR_1\).
나머지 정리를 이용하면 다항식을 직접 나누지 않고도 나머지를 쉽게 구할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
다항식 \(3P(x) – 2Q(x)\)를 \(x-4\)로 나누었을 때의 나머지는 \(9\) 입니다.
\(9\)