📘 문제 이해 및 풀이 전략
두 다항식 \(f(x), g(x)\)에 대하여 다음 정보가 주어졌습니다.
- \(f(x) + g(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지는 -4입니다.
- \(f(x) – g(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지는 8입니다.
목표는 다항식 \(f(x) – 2g(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지를 구하는 것입니다.
이 문제는 나머지 정리를 이용하여 해결합니다.
- 주어진 두 가지 나머지 정보를 나머지 정리를 이용하여 식으로 표현합니다. 즉, \(f(2) + g(2)\) 와 \(f(2) – g(2)\)의 값을 구합니다.
- 두 식을 연립하여 \(f(2)\)와 \(g(2)\)의 값을 각각 구합니다.
- 구하고자 하는 나머지는 나머지 정리에 의해 \(f(2) – 2g(2)\)와 같으므로, 위에서 구한 \(f(2)\)와 \(g(2)\) 값을 대입하여 계산합니다.
나머지 정리:
다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(x-c\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(c)\)이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 나머지 정리를 이용하여 식 세우기
나머지 정리에 따라,
- 다항식 \(f(x) + g(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지가 -4이므로,
$$ f(2) + g(2) = -4 \quad \cdots ① $$
- 다항식 \(f(x) – g(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지가 8이므로,
$$ f(2) – g(2) = 8 \quad \cdots ② $$
Step 2: 연립방정식을 풀어 \(f(2)\)와 \(g(2)\) 값 구하기
식 ①과 ②를 연립하여 \(f(2)\)와 \(g(2)\)를 구합니다.
식 ① + 식 ②:
$$ (f(2) + g(2)) + (f(2) – g(2)) = -4 + 8 $$
$$ 2f(2) = 4 $$
$$ f(2) = 2 $$
\(f(2) = 2\)를 식 ①에 대입합니다.
$$ 2 + g(2) = -4 $$
$$ g(2) = -4 – 2 = -6 $$
따라서 \(\mathbf{f(2) = 2}\) 이고 \(\mathbf{g(2) = -6}\) 입니다.
Step 3: 구하고자 하는 나머지 계산
다항식 \(f(x) – 2g(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해 \(f(2) – 2g(2)\)와 같습니다.
Step 2에서 구한 \(f(2) = 2\)와 \(g(2) = -6\)을 대입하여 계산합니다.
$$ \text{나머지} = f(2) – 2g(2) = 2 – 2(-6) $$
$$ = 2 – (-12) = 2 + 12 = 14 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 나머지 정리를 정확히 이해하고 활용하는 문제입니다. 나머지 정리는 다음과 같은 성질을 가집니다.
- \(P(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(P(c)\).
- \(P(x)+Q(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(P(c)+Q(c)\).
- \(P(x)-Q(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(P(c)-Q(c)\).
- \(kP(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(kP(c)\).
문제에서 주어진 \(f(x)+g(x)\)와 \(f(x)-g(x)\)의 나머지는 각각 \(f(2)+g(2)\)와 \(f(2)-g(2)\)의 값을 알려주는 것입니다. 이 두 값을 이용하여 \(f(2)\)와 \(g(2)\)를 각각 구한 후, 최종적으로 구하고자 하는 \(f(x)-2g(x)\)의 나머지, 즉 \(f(2)-2g(2)\)를 계산할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
다항식 \(f(x) – 2g(x)\)를 \(x-2\)로 나눈 나머지는 \(14\) 입니다.
\(14\)