📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x) = 2x^2 + kx – 10\)을 \(x-3\)으로 나누었을 때의 나머지를 \(R_1\), \(x+3\)으로 나누었을 때의 나머지를 \(R_2\)라고 합니다. 두 나머지의 곱 \(R_1 R_2 = 28\)일 때, 양수 \(k\)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제는 나머지 정리를 이용하여 해결합니다.
- 나머지 정리 적용:
- \(R_1\)은 \(P(x)\)를 \(x-3\)으로 나눈 나머지이므로 \(R_1 = P(3)\)입니다.
- \(R_2\)는 \(P(x)\)를 \(x+3\)으로 나눈 나머지이므로 \(R_2 = P(-3)\)입니다.
- 나머지 계산: \(P(3)\)과 \(P(-3)\)을 \(k\)에 대한 식으로 계산합니다.
- 방정식 설정: 주어진 조건 \(R_1 R_2 = 28\)을 이용하여 \(k\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- \(k\) 값 구하기: 세운 방정식을 풀어 \(k\) 값을 구합니다. 이 과정에서 합차 공식 (\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\))을 이용하면 편리합니다.
- 조건에 맞는 해 선택: 구한 \(k\) 값 중에서 문제의 조건인 양수 \(k\)를 선택합니다.
나머지 정리:
다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(x-c\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(c)\)이다.
곱셈 공식 (합차): \((A+B)(A-B) = A^2 – B^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 나머지 \(R_1\)과 \(R_2\)를 \(k\)로 표현하기
다항식 \(P(x) = 2x^2 + kx – 10\)에 나머지 정리를 적용합니다.
나머지 \(R_1\):
$$ R_1 = P(3) = 2(3)^2 + k(3) – 10 $$
$$ = 2(9) + 3k – 10 = 18 + 3k – 10 = 3k + 8 $$
나머지 \(R_2\):
$$ R_2 = P(-3) = 2(-3)^2 + k(-3) – 10 $$
$$ = 2(9) – 3k – 10 = 18 – 3k – 10 = -3k + 8 $$
Step 2: 조건 \(R_1 R_2 = 28\)을 이용하여 방정식 세우기
주어진 조건 \(R_1 R_2 = 28\)에 Step 1에서 구한 식을 대입합니다.
$$ (3k + 8)(-3k + 8) = 28 $$
Step 3: 방정식 풀기 (\(k\) 값 구하기)
좌변은 \((8 + 3k)(8 – 3k)\) 형태로 합차 공식을 적용할 수 있습니다.
$$ 8^2 – (3k)^2 = 28 $$
$$ 64 – 9k^2 = 28 $$
\(k^2\)에 대해 정리합니다.
$$ 9k^2 = 64 – 28 $$
$$ 9k^2 = 36 $$
$$ k^2 = \frac{36}{9} = 4 $$
\(k\) 값을 구합니다.
$$ k = \pm \sqrt{4} = \pm 2 $$
Step 4: 조건에 맞는 \(k\) 값 선택
문제에서 양수 \(k\)를 구하라고 했습니다.
Step 3에서 구한 \(k\) 값은 \(2\)와 \(-2\)입니다.
따라서 양수 \(k\)의 값은 \(\mathbf{2}\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 나머지 정리를 이용하여 미정계수를 찾는 기본적인 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 다항식 \(P(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(P(c)\)임을 이용하여 나머지를 미정계수(\(k\))를 포함한 식으로 나타냅니다.
- 주어진 나머지들 사이의 관계(\(R_1 R_2 = 28\))를 이용하여 미정계수에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식을 푸는 과정에서 곱셈 공식(특히 합차 공식)을 활용하면 계산을 효율적으로 할 수 있습니다.
- 방정식의 해 중에서 문제에서 요구하는 조건(양수)을 만족하는 해를 최종 답으로 선택합니다.
✅ 최종 정답
양수 \(k\)의 값은 \(2\) 입니다.
\(2\)