📘 문제 이해 및 풀이 전략
다항식 \(P(x)\)에 대한 다음 정보가 주어졌습니다.
- \(P(x)\)를 \(x-5\)로 나눈 나머지는 10입니다.
- \(P(x)\)를 \(x+3\)으로 나눈 나머지는 -6입니다.
목표는 다항식 \(P(x)\)를 이차식 \((x-5)(x+3)\)으로 나누었을 때의 나머지 \(R(x)\)를 구하고, \(R(1)\)의 값을 계산하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 나머지 정리 적용: 주어진 두 나머지 정보를 나머지 정리를 이용하여 \(P(5)\)와 \(P(-3)\)의 값으로 변환합니다.
- 나머지 설정: \(P(x)\)를 이차식 \((x-5)(x+3)\)으로 나누었을 때의 나머지는 나누는 식이 이차식이므로 최대 일차식이 됩니다. 따라서 나머지를 \(R(x) = ax + b\) (단, \(a, b\)는 상수)로 설정합니다.
- 나눗셈 항등식 작성: \(P(x)\)를 \((x-5)(x+3)\)으로 나눈 몫을 \(Q(x)\)라고 하면, 나눗셈에 대한 항등식 \(P(x) = (x-5)(x+3)Q(x) + ax + b\)를 세웁니다.
- 수치 대입: 항등식에 \(x=5\)와 \(x=-3\)을 각각 대입합니다. 이를 통해 \(P(5)\)와 \(P(-3)\)의 값을 이용하여 \(a, b\)에 대한 연립방정식을 얻습니다.
- \(a, b\) 값 구하기: 연립방정식을 풀어 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- \(R(x)\) 결정 및 \(R(1)\) 계산: 구한 \(a, b\) 값을 \(R(x) = ax + b\)에 대입하여 나머지 \(R(x)\)를 확정하고, \(R(1)\)을 계산합니다.
나머지 정리:
다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(x-c\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(c)\)이다.
다항식 나눗셈의 항등식:
\(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 하면, \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)가 성립한다. (단, \(R(x)\)의 차수는 \(D(x)\)의 차수보다 작다.)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 나머지 정리를 이용하여 \(P(5)\)와 \(P(-3)\) 값 구하기
나머지 정리에 따라,
- \(P(x)\)를 \(x-5\)로 나눈 나머지가 10이므로, \(\mathbf{P(5) = 10}\).
- \(P(x)\)를 \(x+3\)으로 나눈 나머지가 -6이므로, \(\mathbf{P(-3) = -6}\).
Step 2: 나눗셈 항등식 설정
\(P(x)\)를 이차식 \((x-5)(x+3)\)으로 나누었을 때의 몫을 \(Q(x)\), 나머지를 \(R(x)\)라 하자. 나누는 식이 이차식이므로 나머지는 최대 일차식이므로 \(R(x) = ax + b\)로 놓을 수 있다.
나눗셈에 대한 항등식은 다음과 같다.
$$ P(x) = (x-5)(x+3)Q(x) + ax + b \quad \cdots ① $$
Step 3: 항등식에 \(x=5\)와 \(x=-3\) 대입하여 연립방정식 세우기
항등식 ①의 양변에 \(x=5\)를 대입합니다.
$$ P(5) = (5-5)(5+3)Q(5) + a(5) + b $$
Step 1에서 \(P(5)=10\)이므로,
$$ 10 = (0)(8)Q(5) + 5a + b $$
$$ 10 = 5a + b \quad \cdots ② $$
항등식 ①의 양변에 \(x=-3\)을 대입합니다.
$$ P(-3) = (-3-5)(-3+3)Q(-3) + a(-3) + b $$
Step 1에서 \(P(-3)=-6\)이므로,
$$ -6 = (-8)(0)Q(-3) – 3a + b $$
$$ -6 = -3a + b \quad \cdots ③ $$
Step 4: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
식 ②와 식 ③을 연립하여 \(a, b\)를 구합니다.
②: \(5a + b = 10\)
③: \(-3a + b = -6\)
식 ②에서 식 ③을 빼면 \(b\)가 소거됩니다.
$$ (5a + b) – (-3a + b) = 10 – (-6) $$
$$ 5a + b + 3a – b = 10 + 6 $$
$$ 8a = 16 $$
$$ a = 2 $$
\(a = 2\)를 식 ②에 대입합니다.
$$ 5(2) + b = 10 $$
$$ 10 + b = 10 $$
$$ b = 0 $$
따라서 \(\mathbf{a = 2}\), \(\mathbf{b = 0}\) 입니다.
Step 5: 나머지 \(R(x)\) 결정 및 \(R(1)\) 계산
나머지 \(R(x) = ax + b\)에 구한 \(a=2\)와 \(b=0\)을 대입합니다.
$$ R(x) = 2x + 0 = 2x $$
이제 \(R(1)\)의 값을 계산합니다.
$$ R(1) = 2(1) = 2 $$
🧠 마무리 개념 정리
다항식 \(P(x)\)를 \(n\)차식 \(D(x)\)로 나눌 때, 나머지는 최대 \(n-1\)차식이 됩니다. 이 문제에서는 이차식 \((x-5)(x+3)\)으로 나누었으므로 나머지를 일차식 \(ax+b\)로 설정하는 것이 중요합니다. 나머지 정리는 나누는 식이 일차식일 때 그 나머지를 쉽게 알려주지만, 이 문제처럼 이차식으로 나눌 때는 나눗셈 항등식을 세우고, 나누는 식을 0으로 만드는 값들을 대입하여 미정계수를 결정하는 방법을 사용합니다.
- \(P(x)\)를 \((x-c_1)(x-c_2)\)로 나눈 나머지를 \(ax+b\)라 두면,
- \(P(c_1) = ac_1 + b\)
- \(P(c_2) = ac_2 + b\)
- 위 두 식을 연립하여 \(a, b\)를 구합니다.
✅ 최종 정답
\(R(1) = 2\)
따라서 정답은 ③ 입니다.