📘 문제 이해 및 풀이 전략
다음 정보가 주어졌습니다.
- 다항식 \(P(x)-4\)는 \(x^2-x-2\)로 나누어떨어집니다.
목표는 다항식 \((x-1)P(x-1)\)을 \(x^2-3x\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 첫 번째 조건 해석: \(P(x)-4\)가 \(x^2-x-2\)로 나누어떨어진다는 조건을 인수 정리 또는 나머지 정리를 이용하여 \(P(x)\)의 특정 값(\(P(-1), P(2)\))을 구합니다. 이를 위해 \(x^2-x-2\)를 인수분해합니다.
- 나머지 설정: 구하고자 하는 나눗셈에서 나누는 식 \(x^2-3x\)는 2차식이므로 나머지는 최대 1차식입니다. 나머지를 \(R(x) = ax+b\)로 설정합니다.
- 나눗셈 항등식 작성: \((x-1)P(x-1)\)을 \(x^2-3x\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\)라 하고, 나눗셈 항등식을 세웁니다: \((x-1)P(x-1) = (x^2-3x)Q(x) + ax + b\).
- 나누는 식 인수분해 및 근 찾기: 나누는 식 \(x^2-3x\)를 인수분해하고 그 근을 찾습니다 (\(x=0, x=3\)).
- 수치 대입: 항등식에 \(x=0\)과 \(x=3\)을 각각 대입합니다. 이때 Step 1에서 구한 \(P(x)\)의 값이 필요합니다. 이를 통해 \(a, b\)에 대한 연립방정식을 얻습니다.
- \(a, b\) 값 구하기: 연립방정식을 풀어 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- 나머지 결정: 구한 \(a, b\) 값을 \(R(x) = ax + b\)에 대입하여 최종 나머지를 구합니다.
관련 개념:
- 인수 정리: 다항식 \(F(x)\)가 \(x-c\)로 나누어떨어질 필요충분조건은 \(F(c)=0\)이다.
- 나머지 정리: 다항식 \(F(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(F(c)\)이다.
- 다항식 나눗셈의 항등식: \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\) (단, \(R(x)\)의 차수 < \(D(x)\)의 차수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 조건을 이용하여 \(P(x)\)의 값 구하기
다항식 \(P(x)-4\)가 \(x^2 – x – 2\)로 나누어떨어집니다.
나누는 식을 인수분해하면 \(x^2 – x – 2 = (x-2)(x+1)\) 입니다.
\(P(x)-4\)가 \((x-2)\)와 \((x+1)\)을 인수로 가지므로, 인수 정리에 의해 다음이 성립합니다.
- \(x=2\) 대입: \(P(2) – 4 = 0 \implies \mathbf{P(2) = 4}\)
- \(x=-1\) 대입: \(P(-1) – 4 = 0 \implies \mathbf{P(-1) = 4}\)
Step 2: 나눗셈 항등식 설정
다항식 \(F(x) = (x-1)P(x-1)\)을 \(D(x) = x^2 – 3x\)로 나누었을 때의 나머지를 구해야 합니다.
나누는 식 \(D(x) = x^2 – 3x = x(x-3)\)은 2차식이므로, 나머지를 \(R(x) = ax + b\) (단, \(a, b\)는 상수)로 놓습니다.
몫을 \(Q(x)\)라 하면, 나눗셈 항등식은 다음과 같습니다.
$$ (x-1)P(x-1) = x(x-3)Q(x) + ax + b \quad \cdots ① $$
Step 3: 항등식에 근 대입하여 연립방정식 세우기
나누는 식 \(x(x-3)\)을 0으로 만드는 \(x\) 값은 \(x=0\)과 \(x=3\)입니다. 이 값들을 항등식 ①에 대입합니다.
- \(x=0\) 대입:
좌변(LHS): \((0-1)P(0-1) = (-1)P(-1)\)
Step 1에서 \(P(-1)=4\)이므로 LHS = \((-1)(4) = -4\).
우변(RHS): \(0(0-3)Q(0) + a(0) + b = 0 + 0 + b = b\)
따라서 \(\mathbf{b = -4}\) \(\quad \cdots ②\)
- \(x=3\) 대입:
좌변(LHS): \((3-1)P(3-1) = (2)P(2)\)
Step 1에서 \(P(2)=4\)이므로 LHS = \((2)(4) = 8\).
우변(RHS): \(3(3-3)Q(3) + a(3) + b = 0 + 3a + b = 3a + b\)
따라서 \(\mathbf{3a + b = 8}\) \(\quad \cdots ③\)
Step 4: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
식 ②(\(b=-4\))와 식 ③(\(3a+b=8\))을 연립하여 \(a\)를 구합니다.
\(b=-4\)를 식 ③에 대입합니다.
$$ 3a + (-4) = 8 $$
$$ 3a = 8 + 4 = 12 $$
$$ a = 4 $$
따라서 \(\mathbf{a = 4}\), \(\mathbf{b = -4}\) 입니다.
Step 5: 나머지 \(R(x)\) 결정
나머지 \(R(x) = ax + b\)에 구한 \(a=4\)와 \(b=-4\)를 대입합니다.
$$ R(x) = 4x – 4 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식 나눗셈과 나머지 정리, 인수 정리를 복합적으로 활용하는 문제입니다.
- 조건 해석: “\(P(x)-k\)가 \(D(x)\)로 나누어떨어진다”는 조건은 \(D(x)=0\)의 근 \(c\)에 대해 \(P(c)-k=0\), 즉 \(P(c)=k\)임을 의미합니다. (인수 정리/나머지 정리 활용)
- 나머지 설정: \(n\)차식으로 나눌 때 나머지는 최대 \(n-1\)차식으로 설정합니다. (이 문제에서는 2차식으로 나누므로 나머지 \(ax+b\))
- 항등식과 수치 대입: 나눗셈 항등식을 세우고, 나누는 식을 0으로 만드는 \(x\) 값을 대입하여 나머지 식의 미정계수를 결정합니다.
- 함수 변형 주의: \(P(x-1)\)과 같이 변형된 다항식이 포함된 경우, 값을 대입할 때 주의해야 합니다. 항등식에 \(x=c\)를 대입하면 \(P(x-1)\) 항은 \(P(c-1)\)이 됩니다.
주어진 정보로부터 필요한 함수값(\(P(-1), P(2)\))을 정확히 추출하고, 구하고자 하는 나눗셈에 대한 항등식을 올바르게 세워 수치 대입법을 적용하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
\((x-1)P(x-1)\)을 \(x^2-3x\)로 나누었을 때의 나머지는 \(4x-4\) 입니다.
따라서 정답은 ④ 입니다.