📘 문제 이해 및 풀이 전략
문제는 \(2021^{11} + 2021^4 + 1\)을 \(2022\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 것입니다. 숫자가 매우 크기 때문에 직접 계산하기 어렵습니다. 이 문제는 수의 나눗셈을 다항식의 나눗셈으로 바꾸어 나머지 정리를 이용하는 전략을 사용합니다.
- 치환: 관련된 수(2021 또는 2022)를 문자 \(x\)로 치환합니다. \(x = 2021\)로 놓으면, 나누는 수는 \(2022 = x + 1\)이 됩니다.
- 다항식 표현: 나누어지는 수를 \(x\)에 대한 다항식 \(P(x)\)로 표현합니다. \(P(x) = x^{11} + x^4 + 1\).
- 다항식 나눗셈 문제로 변환: 원래 문제는 다항식 \(P(x)\)를 \(x+1\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 문제와 같아집니다.
- 나머지 정리 적용: 다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(x – c\)로 나눈 나머지는 \(P(c)\)입니다. 여기서는 \(x+1 = x – (-1)\)로 나누므로, 나머지는 \(P(-1)\)입니다.
- 값 계산: \(P(-1)\)을 계산하여 나머지를 구합니다.
나머지 정리:
다항식 \(P(x)\)를 일차식 \(x-c\)로 나누었을 때의 나머지는 \(P(c)\)이다.
수의 나눗셈과 다항식 나눗셈의 관계:
정수 \(A\)를 양의 정수 \(B\)로 나눈 나머지는, \(A = P(x)\), \(B = D(x)\) 형태로 표현될 때 (단, \(x\)는 특정 정수), 다항식 \(P(x)\)를 \(D(x)\)로 나눈 나머지 다항식 \(R(x)\)에 해당 \(x\) 값을 대입한 \(R(\text{특정 정수})\)와 관련될 수 있습니다. 특히, \(D(x)\)가 일차식인 경우 나머지 정리를 바로 적용할 수 있습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 적절한 치환 설정
나누는 수 2022와 가까운 \(2021\)을 \(x\)로 치환합니다.
$$ x = 2021 $$
그러면 나누는 수는 다음과 같이 표현됩니다.
$$ 2022 = 2021 + 1 = x + 1 $$
나누어지는 수는 다음과 같이 표현됩니다.
$$ 2021^{11} + 2021^4 + 1 = x^{11} + x^4 + 1 $$
Step 2: 다항식 나눗셈 문제로 변환
원래 문제는 다항식 \(P(x) = x^{11} + x^4 + 1\)을 일차식 \(D(x) = x + 1\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 문제와 같습니다.
Step 3: 나머지 정리 적용
다항식 \(P(x)\)를 \(x+1 = x – (-1)\)로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해 \(P(-1)\)입니다.
Step 4: 나머지 값 계산
\(P(x) = x^{11} + x^4 + 1\)에 \(x = -1\)을 대입하여 나머지를 계산합니다.
$$ \text{나머지} = P(-1) = (-1)^{11} + (-1)^4 + 1 $$
거듭제곱을 계산합니다.
- \((-1)^{11} = -1\) (홀수 제곱)
- \((-1)^4 = 1\) (짝수 제곱)
따라서,
$$ \text{나머지} = -1 + 1 + 1 = 1 $$
🧠 마무리 개념 정리
큰 수의 나눗셈에서 나머지를 구하는 문제는 종종 다항식의 나눗셈과 나머지 정리를 이용하여 풀 수 있습니다. 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.
- 치환: 나누는 수 또는 나누어지는 수와 관련된 수를 \(x\)로 치환하여 다항식 형태로 만듭니다.
- 나머지 정리 적용: 만약 나누는 수가 \(x-c\) 형태의 일차식으로 표현된다면, 나머지 정리를 적용하여 \(P(c)\)를 계산하는 것으로 나머지를 구할 수 있습니다.
이 방법을 사용하면 큰 수의 거듭제곱을 직접 계산하지 않고도 나머지를 효율적으로 구할 수 있습니다. 치환할 값을 적절히 선택하는 것이 중요합니다 (주로 나누는 수와 ±1 차이 나는 수).
✅ 최종 정답
\(2021^{11} + 2021^4 + 1\)을 \(2022\)로 나누었을 때의 나머지는 1입니다.
따라서 정답은 ① 입니다.