📘 문제 이해 및 풀이 전략
다음 정보가 주어졌습니다.
- 다항식 \(P(x)-2\)는 \(x^2+2x-3\)으로 나누어떨어집니다.
목표는 다항식 \(P(2x+5)\)를 \(x^2+6x+8\)로 나누었을 때의 나머지를 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다항식 나눗셈의 항등식과 나머지 정리/인수 정리를 활용하는 것입니다.
- 첫 번째 조건 해석: \(P(x)-2\)가 \(x^2+2x-3\)으로 나누어떨어진다는 조건을 인수 정리를 이용하여 \(P(x)\)의 특정 값(\(P(-3), P(1)\))을 구합니다. 이를 위해 \(x^2+2x-3\)을 인수분해합니다.
- 나머지 설정: 구하고자 하는 나눗셈에서 나누는 식 \(x^2+6x+8\)은 2차식이므로 나머지는 최대 1차식입니다. 나머지를 \(R(x) = ax+b\)로 설정합니다.
- 나눗셈 항등식 작성: \(P(2x+5)\)를 \(x^2+6x+8\)로 나눈 몫을 \(Q(x)\)라 하고, 나눗셈 항등식을 세웁니다: \(P(2x+5) = (x^2+6x+8)Q(x) + ax + b\).
- 나누는 식 인수분해 및 근 찾기: 나누는 식 \(x^2+6x+8\)을 인수분해하고 그 근을 찾습니다 (\(x=-2, x=-4\)).
- 수치 대입: 항등식에 \(x=-2\)와 \(x=-4\)를 각각 대입합니다. 이때 Step 1에서 구한 \(P(x)\)의 값이 필요합니다. 이를 통해 \(a, b\)에 대한 연립방정식을 얻습니다.
- \(a, b\) 값 구하기: 연립방정식을 풀어 상수 \(a\)와 \(b\)의 값을 구합니다.
- 나머지 결정: 구한 \(a, b\) 값을 \(R(x) = ax + b\)에 대입하여 최종 나머지를 구합니다.
관련 개념:
- 인수 정리: 다항식 \(F(x)\)가 \(x-c\)로 나누어떨어질 필요충분조건은 \(F(c)=0\)이다.
- 나머지 정리: 다항식 \(F(x)\)를 \(x-c\)로 나눈 나머지는 \(F(c)\)이다.
- 다항식 나눗셈의 항등식: \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\) (단, \(R(x)\)의 차수 < \(D(x)\)의 차수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 첫 번째 조건을 이용하여 \(P(x)\)의 값 구하기
다항식 \(P(x)-2\)가 \(x^2 + 2x – 3\)으로 나누어떨어집니다.
나누는 식을 인수분해하면 \(x^2 + 2x – 3 = (x+3)(x-1)\) 입니다.
\(P(x)-2\)가 \((x+3)\)과 \((x-1)\)을 인수로 가지므로, 인수 정리에 의해 다음이 성립합니다.
- \(x=-3\) 대입: \(P(-3) – 2 = 0 \implies \mathbf{P(-3) = 2}\)
- \(x=1\) 대입: \(P(1) – 2 = 0 \implies \mathbf{P(1) = 2}\)
Step 2: 나눗셈 항등식 설정
다항식 \(F(x) = P(2x+5)\)를 \(D(x) = x^2 + 6x + 8\)로 나누었을 때의 나머지를 구해야 합니다.
나누는 식 \(D(x) = x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)\)은 2차식이므로, 나머지를 \(R(x) = ax + b\) (단, \(a, b\)는 상수)로 놓습니다.
몫을 \(Q(x)\)라 하면, 나눗셈 항등식은 다음과 같습니다.
$$ P(2x+5) = (x+2)(x+4)Q(x) + ax + b \quad \cdots ① $$
Step 3: 항등식에 근 대입하여 연립방정식 세우기
나누는 식 \((x+2)(x+4)\)를 0으로 만드는 \(x\) 값은 \(x=-2\)와 \(x=-4\)입니다. 이 값들을 항등식 ①에 대입합니다.
- \(x=-2\) 대입:
좌변(LHS): \(P(2(-2)+5) = P(-4+5) = P(1)\)
Step 1에서 \(P(1)=2\)이므로 LHS = \(2\).
우변(RHS): \((-2+2)(-2+4)Q(-2) + a(-2) + b = 0 + (-2a) + b = -2a + b\)
따라서 \(\mathbf{-2a + b = 2}\) \(\quad \cdots ②\)
- \(x=-4\) 대입:
좌변(LHS): \(P(2(-4)+5) = P(-8+5) = P(-3)\)
Step 1에서 \(P(-3)=2\)이므로 LHS = \(2\).
우변(RHS): \((-4+2)(-4+4)Q(-4) + a(-4) + b = 0 + (-4a) + b = -4a + b\)
따라서 \(\mathbf{-4a + b = 2}\) \(\quad \cdots ③\)
Step 4: 연립방정식 풀이 (\(a, b\) 값 구하기)
식 ②(\(-2a+b=2\))와 식 ③(\(-4a+b=2\))을 연립하여 \(a, b\)를 구합니다.
식 ②에서 식 ③을 빼면 \(b\)가 소거됩니다.
$$ (-2a + b) – (-4a + b) = 2 – 2 $$
$$ -2a + b + 4a – b = 0 $$
$$ 2a = 0 $$
$$ a = 0 $$
\(a = 0\)을 식 ②에 대입합니다.
$$ -2(0) + b = 2 $$
$$ b = 2 $$
따라서 \(\mathbf{a = 0}\), \(\mathbf{b = 2}\) 입니다.
Step 5: 나머지 \(R(x)\) 결정
나머지 \(R(x) = ax + b\)에 구한 \(a=0\)과 \(b=2\)를 대입합니다.
$$ R(x) = 0x + 2 = 2 $$
따라서 \(P(2x+5)\)를 \(x^2+6x+8\)로 나누었을 때의 나머지는 상수 2입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 다항식 나눗셈과 나머지 정리, 인수 정리를 복합적으로 활용하는 문제입니다.
- 조건 해석: “\(P(x)-k\)가 \(D(x)\)로 나누어떨어진다”는 조건은 \(D(x)=0\)의 근 \(c\)에 대해 \(P(c)-k=0\), 즉 \(P(c)=k\)임을 의미합니다. (인수 정리/나머지 정리 활용)
- 나머지 설정: \(n\)차식으로 나눌 때 나머지는 최대 \(n-1\)차식으로 설정합니다. (이 문제에서는 2차식으로 나누므로 나머지 \(ax+b\))
- 항등식과 수치 대입: 나눗셈 항등식을 세우고, 나누는 식을 0으로 만드는 \(x\) 값을 대입하여 나머지 식의 미정계수를 결정합니다.
- 함수 변형 주의: \(P(kx+m)\) 형태의 다항식을 다룰 때는 항등식에 \(x\)값을 대입했을 때 \(P\) 안의 값이 무엇이 되는지 정확히 계산해야 합니다. (예: \(P(2x+5)\)에 \(x=-2\)를 대입하면 \(P(1)\)이 됨)
주어진 정보로부터 필요한 함수값(\(P(-3), P(1)\))을 정확히 추출하고, 구하고자 하는 나눗셈에 대한 항등식을 올바르게 세워 수치 대입법을 적용하는 것이 핵심입니다.
✅ 최종 정답
\(P(2x+5)\)를 \(x^2+6x+8\)로 나누었을 때의 나머지는 \(2\) 입니다.
\(2\)