📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \(x^2 – 2x + 3 = a(x+1)^2 + b(x+1) + c\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, 상수 \(a, b, c\)를 구하여 \(a – 2b – c\)의 값을 계산하는 문제입니다.
항등식의 미정계수를 결정하는 방법에는 계수 비교법, 수치 대입법, 그리고 이 문제의 해설에서 사용된 조립제법을 이용한 방법이 있습니다. 등식의 우변이 \((x+1)\)에 대한 내림차순으로 정리되어 있으므로, 조립제법을 연속으로 사용하는 것이 효율적입니다.
- 다항식 \(P(x) = x^2 – 2x + 3\)을 \(x+1\)로 나누면 나머지가 \(c\)가 됩니다.
- 위 나눗셈의 몫을 다시 \(x+1\)로 나누면 나머지가 \(b\)가 되고, 마지막 몫이 \(a\)가 됩니다.
풀이 전략:
- 다항식 \(x^2 – 2x + 3\)을 \(x+1\)로 나누는 조립제법을 시행합니다 (\(k=-1\) 사용). 나머지가 \(c\)입니다.
- 위 조립제법에서 얻은 몫을 다시 \(x+1\)로 나누는 조립제법을 시행합니다. 나머지가 \(b\)이고, 몫이 \(a\)입니다.
- 구한 \(a, b, c\) 값을 이용하여 \(a – 2b – c\)를 계산합니다.
조립제법과 다항식 변형:
다항식 \(P(x)\)를 \(x-k\)로 반복해서 나누는 조립제법을 통해 \(P(x) = a_n(x-k)^n + \dots + a_1(x-k) + a_0\) 형태로 변형할 수 있으며, 이때 \(a_0, a_1, \dots\)는 각 단계의 나머지가 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정 (조립제법 이용)
Step 1: 첫 번째 조립제법 (\(P(x)\)를 \(x+1\)로 나누기)
다항식 \(P(x) = x^2 – 2x + 3\)의 계수는 \(1, -2, 3\) 입니다.
나누는 식이 \(x+1\)이므로 조립제법에 \(k = -1\)을 사용합니다.
| -1 | 1 | -2 | 3 |
| -1 | 3 | ||
| 1 | -3 | 6 |
이 조립제법 결과:
- 몫: \(x – 3\)
- 나머지: \(6\). 이 값이 \(\mathbf{c = 6}\) 입니다.
즉, \(x^2 – 2x + 3 = (x+1)(x-3) + 6\).
Step 2: 두 번째 조립제법 (몫을 \(x+1\)로 나누기)
Step 1에서 구한 몫 \(x-3\)의 계수는 \(1, -3\) 입니다.
이 몫을 다시 \(x+1\)로 나누는 조립제법을 시행합니다 (\(k = -1\)).
| -1 | 1 | -3 |
| -1 | ||
| 1 | -4 |
이 조립제법 결과:
- 몫: \(1\). 이 값이 \(\mathbf{a = 1}\) 입니다.
- 나머지: \(-4\). 이 값이 \(\mathbf{b = -4}\) 입니다.
즉, \(x – 3 = (x+1)(1) – 4\).
Step 3: \(a, b, c\) 값 확인 및 최종 계산
조립제법을 통해 구한 값은 \(\mathbf{a = 1}\), \(\mathbf{b = -4}\), \(\mathbf{c = 6}\) 입니다.
이를 원래 등식의 형태로 써보면, \(x^2 – 2x + 3 = (x+1)(x-3) + 6 = (x+1)[(x+1)(1) – 4] + 6 = 1(x+1)^2 – 4(x+1) + 6\) 이므로, \(a=1, b=-4, c=6\) 임을 확인할 수 있습니다.
이제 문제에서 요구하는 \(a – 2b – c\) 값을 계산합니다.
$$ a – 2b – c = (1) – 2(-4) – (6) $$
$$ = 1 + 8 – 6 $$
$$ = 9 – 6 = 3 $$
🧠 마무리 개념 정리
다항식 \(P(x)\)를 \(a(x-k)^n + b(x-k)^{n-1} + \dots + p(x-k) + q\) 형태로 표현하는 것은 \(P(x)\)를 \(x-k\)로 반복하여 나누는 조립제법을 통해 효율적으로 계수 \(q, p, \dots, b, a\)를 구할 수 있습니다. 각 단계에서 나오는 나머지가 오른쪽부터 차례대로 \(q, p, \dots, b\)가 되고, 마지막 몫이 \(a\)가 됩니다.
이 문제는 주어진 항등식의 우변이 \(x+1\)에 대한 내림차순 형태이므로, 조립제법을 \(x-(-1)\)에 대해 두 번 적용하여 \(c, b, a\)를 순서대로 구하는 것이 가장 효율적인 풀이 방법입니다.
✅ 최종 정답
\(a – 2b – c = 3\)
\(3\)