📘 문제 이해 및 풀이 전략
원래 가로의 길이가 \(5x\), 세로의 길이가 \(2x\)인 직사각형이 있습니다. 이 직사각형의 가로 길이를 9만큼 늘이고, 세로 길이를 3만큼 줄여서 새로운 직사각형(그림에서 색칠된 부분)을 만들었습니다. 목표는 이 새로운 직사각형의 넓이를 구하는 것입니다.
풀이 전략은 다음과 같습니다.
- 변경된 가로 길이 계산: 원래 가로 길이에 늘어난 길이를 더합니다.
- 변경된 세로 길이 계산: 원래 세로 길이에서 줄어든 길이를
니다. - 넓이 계산: 직사각형의 넓이 공식 (가로 \(\times\) 세로)을 이용하여 변경된 가로 길이와 세로 길이를 곱합니다.
- 다항식 전개: 곱셈 결과를 전개하고 동류항을 정리하여 최종 넓이를 다항식으로 표현합니다.
직사각형 넓이 공식:
넓이 = (가로) \(\times\) (세로)
다항식 곱셈 (분배 법칙):
\((A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 변경된 가로 및 세로 길이 구하기
원래 가로 길이는 \(5x\), 세로 길이는 \(2x\)입니다.
가로 길이는 9만큼 늘렸으므로:
$$ \text{변경된 가로} = 5x + 9 $$
세로 길이는 3만큼 줄였으므로:
$$ \text{변경된 세로} = 2x – 3 $$
Step 2: 넓이 식 세우기
변경된 직사각형(색칠된 부분)의 넓이는 변경된 가로 길이와 세로 길이를 곱한 값입니다.
$$ \text{넓이} = (5x + 9)(2x – 3) $$
Step 3: 넓이 계산 (다항식 전개)
두 다항식의 곱을 전개합니다.
$$ (5x + 9)(2x – 3) = 5x(2x – 3) + 9(2x – 3) $$
분배 법칙을 적용합니다.
$$ = (5x \times 2x) + (5x \times -3) + (9 \times 2x) + (9 \times -3) $$
$$ = 10x^2 – 15x + 18x – 27 $$
동류항 (\(-15x\)와 \(18x\))을 계산합니다.
$$ = 10x^2 + (-15 + 18)x – 27 $$
$$ = 10x^2 + 3x – 27 $$
Step 4: 최종 결과 확인
색칠한 직사각형의 넓이는 \(10x^2 + 3x – 27\) 입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 도형의 변의 길이 변화를 식으로 나타내고, 다항식의 곱셈을 이용하여 넓이를 계산하는 기본적인 문제입니다.
- 문제의 설명을 정확히 이해하여 변화된 길이를 식으로 표현하는 것이 중요합니다. (늘이면 +, 줄이면 -)
- 직사각형의 넓이는 (가로)\(\times\)(세로) 공식을 사용합니다.
- 다항식의 곱셈은 분배 법칙을 이용하여 전개하고, 동류항끼리 정리합니다.
✅ 최종 정답
색칠한 직사각형의 넓이는 \(10x^2 + 3x – 27\) 입니다.
따라서 정답은 ② 입니다.