📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 그림은 한 변의 길이가 \(3x\)인 정사각형에서, 빗변이 아닌 두 변의 길이가 \(y\)인 직각이등변삼각형 두 개를 떼어낸 도형입니다. 이 색칠된 부분의 넓이를 구할 때 필요한 곱셈 공식을 보기에서 고르는 문제입니다.
풀이 전략:
- 색칠된 부분의 넓이 계산: 색칠된 부분의 넓이를 \(x\)와 \(y\)를 이용하여 식으로 나타냅니다. 가장 간단한 방법은 전체 정사각형 넓이에서 떼어낸 두 삼각형의 넓이를 빼는 것입니다.
- 넓이 식과 곱셈 공식 비교: 계산된 넓이 식이 어떤 곱셈 공식을 이용하여 얻어질 수 있는지, 또는 어떤 곱셈 공식의 결과 형태와 같은지 분석하여 보기에서 필요한 공식을 찾습니다. (해설 이미지의 접근 방식은 도형을 재배치하여 넓이를 \((3x+y)(3x-y)\)로 구하고 이를 전개하는 것이므로, 이 방식도 고려합니다.)
보기의 곱셈 공식:
- ㉠ \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) (합차 공식)
- ㉡ \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- ㉢ \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 색칠된 부분의 넓이 계산
그림의 도형은 한 변의 길이가 \(3x\)인 정사각형에서 두 개의 직각이등변삼각형(밑변, 높이 각각 \(y\))을 제거한 것입니다.
전체 정사각형의 넓이:
$$ (3x)^2 = 9x^2 $$
제거된 직각이등변삼각형 한 개의 넓이:
$$ \frac{1}{2} \times y \times y = \frac{1}{2}y^2 $$
제거된 두 삼각형의 넓이 합:
$$ 2 \times \left(\frac{1}{2}y^2\right) = y^2 $$
따라서 색칠된 부분의 넓이는:
$$ (\text{정사각형 넓이}) – (\text{두 삼각형 넓이 합}) = 9x^2 – y^2 $$
Step 2: 넓이 식과 곱셈 공식 비교
색칠된 부분의 넓이는 \(9x^2 – y^2\) 입니다.
이 식은 \((3x)^2 – y^2\) 형태로, \(a^2 – b^2\) 꼴입니다.
보기의 공식 중에서 \(a^2 – b^2\) 형태의 결과를 만드는 공식은 ㉠ 합차 공식 \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) 입니다.
만약 해설 이미지처럼, 도형을 변형하거나 다른 방식으로 접근하여 넓이가 \((3x+y)(3x-y)\) 로 표현된다고 가정하고, 이 식을 전개하여 넓이를 구한다면, 합차 공식을 사용하게 됩니다.
$$ (3x+y)(3x-y) = (3x)^2 – y^2 = 9x^2 – y^2 $$
따라서 넓이를 구하는 과정에서 직접적으로든, 혹은 해설의 접근 방식처럼 중간 결과 식의 전개를 통해 최종 결과를 얻든, 합차 공식이 관련됩니다.
문제는 넓이를 “구하려고 할 때, 필요한 곱셈 공식”을 묻고 있으므로, 해설의 접근 방식을 따라 \((3x+y)(3x-y)\)를 전개하여 넓이를 구하는 상황을 가정하면, 필요한 공식은 ㉠입니다.
🧠 마무리 개념 정리
도형의 넓이를 구하는 문제는 도형의 특성을 파악하고 넓이 공식을 적용하여 해결할 수 있습니다. 이 문제에서는 다음과 같은 개념이 사용되었습니다.
- 정사각형 넓이: (한 변의 길이)\(^2\)
- 직각삼각형 넓이: \(\frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이})\)
- 도형의 분할과 조합: 전체 도형에서 일부를 빼거나, 도형을 재배열하여 넓이를 구할 수 있습니다.
- 곱셈 공식 (합차 공식): \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\). 이 문제는 넓이 계산 결과가 \(a^2-b^2\) 형태로 나타나므로 이 공식과 관련이 깊습니다. 해설의 풀이 과정에서는 이 공식을 직접 사용하여 넓이를 계산합니다.
✅ 최종 정답
색칠된 부분의 넓이는 \(9x^2 – y^2\) 입니다. 해설의 접근 방식에 따르면 이 넓이는 \((3x+y)(3x-y)\)를 전개하여 얻을 수 있으며, 이때 사용되는 곱셈 공식은 ㉠ \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) 입니다.
따라서 필요한 곱셈 공식은 ㉠ 입니다.