📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 등식 \((x-2)(x-1)(x+1)(x+2) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\)가 \(x\)에 대한 항등식일 때, 상수 \(a, b, c, d\)에 대하여 \(a-b+c-d\)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제는 항등식의 성질을 이용하여 미정계수 \(a, b, c, d\)를 결정한 후, 주어진 식의 값을 계산하는 문제입니다. 미정계수를 결정하는 방법 중, 이 문제에서는 좌변을 효율적으로 전개하여 우변과 계수를 비교하는 것이 편리합니다.
풀이 전략:
- 좌변 전개 (효율적 방법): 좌변의 인수들의 순서를 재배열하여 곱셈 공식(특히 합차 공식)을 쉽게 적용할 수 있도록 만듭니다.
- 전개 완료: 재배열된 식을 완전히 전개하여 \(x\)에 대한 내림차순으로 정리합니다.
- 계수 비교: 전개된 좌변과 주어진 우변의 동류항 계수를 비교하여 \(a, b, c, d\) 값을 각각 결정합니다.
- 목표 값 계산: 결정된 \(a, b, c, d\) 값을 이용하여 \(a-b+c-d\)를 계산합니다.
관련 공식 (합차 공식):
\((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 좌변 인수 재배열 및 합차 공식 적용
주어진 등식의 좌변은 \((x-2)(x-1)(x+1)(x+2)\) 입니다.
곱셈 순서를 바꿔 합차 공식을 적용하기 쉽게 재배열합니다.
$$ \{ (x-2)(x+2) \} \{ (x-1)(x+1) \} $$
각 괄호에 합차 공식을 적용합니다.
- \((x-2)(x+2) = x^2 – 2^2 = x^2 – 4\)
- \((x-1)(x+1) = x^2 – 1^2 = x^2 – 1\)
따라서 좌변은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ (x^2 – 4)(x^2 – 1) $$
Step 2: 합차 공식 결과 전개
변형된 좌변 \((x^2 – 4)(x^2 – 1)\)을 전개합니다.
$$ (x^2 – 4)(x^2 – 1) = x^2(x^2 – 1) – 4(x^2 – 1) $$
$$ = (x^4 – x^2) – (4x^2 – 4) $$
$$ = x^4 – x^2 – 4x^2 + 4 $$
동류항을 정리합니다.
$$ = x^4 – 5x^2 + 4 $$
Step 3: 좌변과 우변 계수 비교 (\(a, b, c, d\) 값 결정)
주어진 항등식은 \(x^4 – 5x^2 + 4 = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d\) 입니다.
양변의 동류항 계수를 비교합니다.
- \(x^4\) 계수: \(1 = 1\)
- \(x^3\) 계수: 좌변에는 \(x^3\) 항이 없으므로 계수는 0입니다. 따라서 \(\mathbf{a = 0}\).
- \(x^2\) 계수: 좌변의 \(x^2\) 계수는 -5입니다. 따라서 \(\mathbf{b = -5}\).
- \(x\) 계수: 좌변에는 \(x\) 항이 없으므로 계수는 0입니다. 따라서 \(\mathbf{c = 0}\).
- 상수항: 좌변의 상수항은 4입니다. 따라서 \(\mathbf{d = 4}\).
Step 4: \(a – b + c – d\) 값 계산
결정된 \(a=0, b=-5, c=0, d=4\) 값을 이용하여 \(a-b+c-d\)를 계산합니다.
$$ a – b + c – d = (0) – (-5) + (0) – (4) $$
$$ = 0 + 5 + 0 – 4 $$
$$ = 1 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 항등식의 미정계수를 결정하는 방법 중 계수 비교법을 사용하는 문제입니다. 특히 좌변을 효율적으로 전개하기 위해 다음과 같은 전략을 사용했습니다.
- 인수 재배열: 곱셈 순서를 바꾸어 계산이 용이한 쌍을 먼저 계산합니다.
- 곱셈 공식 활용: 합차 공식 \((A-B)(A+B) = A^2 – B^2\)을 반복 적용하여 전개를 단순화했습니다.
계수 비교법은 양변을 동일한 문자에 대한 내림차순으로 정리한 후, 각 항의 계수가 서로 같다는 성질을 이용하여 미정계수를 결정하는 방법입니다. 전개가 용이한 경우 효과적인 방법입니다.
✅ 최종 정답
\(a – b + c – d = 1\)
\(1\)