📘 문제 이해 및 풀이 전략
주어진 식 \(A = (\sqrt{6} – 3a)(\sqrt{6} + 2) + 7\sqrt{6}\)의 값이 유리수가 되도록 하는 유리수 \(a\)가 존재할 때, 그 유리수 \(A\)의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위한 전략은 다음과 같습니다.
- 식 전개: 주어진 식 \(A\)에서 곱셈 부분 \((\sqrt{6} – 3a)(\sqrt{6} + 2)\)를 분배 법칙을 이용하여 전개합니다.
- 유리수/무리수 부분 정리: 전개된 식과 나머지 항 \(+7\sqrt{6}\)을 합쳐서, 전체 식 \(A\)를 유리수 부분과 \(\sqrt{6}\)을 포함하는 무리수 부분으로 나누어 정리합니다 (\(P + Q\sqrt{6}\) 꼴).
- 유리수 조건 적용: \(A\)가 유리수가 되고 \(a\)가 유리수이므로, 정리된 식 \(P+Q\sqrt{6}\)에서 무리수 부분의 계수(\(Q\))가 0이어야 합니다.
- \(a\) 값 계산: 무리수 부분의 계수가 0이 되는 조건을 이용하여 \(a\)에 대한 방정식을 풀어서 \(a\) 값을 구합니다.
- \(A\) 값 계산: \(A\)가 유리수일 때는 무리수 부분이 0이 되므로, \(A\)의 값은 유리수 부분 \(P\)와 같습니다. Step 4에서 구한 \(a\) 값을 \(P\)에 대입하여 \(A\)의 값을 계산합니다.
무리수가 같을 조건 (무리수 상등):
\(p, q\)가 유리수이고 \(\sqrt{m}\)이 무리수일 때,
- \(p + q\sqrt{m} = 0 \iff p = 0 \text{ 이고 } q = 0\)
- \(p + q\sqrt{m}\)이 유리수가 될 조건은 \(q=0\)이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 곱셈 부분 전개하기
분배 법칙을 이용하여 \((\sqrt{6} – 3a)(\sqrt{6} + 2)\)를 전개합니다.
$$ (\sqrt{6} – 3a)(\sqrt{6} + 2) = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})(2) + (-3a)(\sqrt{6}) + (-3a)(2) $$
각 항을 계산합니다.
$$ = 6 + 2\sqrt{6} – 3a\sqrt{6} – 6a $$
Step 2: 식 \(A\) 정리하기
Step 1의 결과를 이용하여 \(A\)를 정리합니다.
$$ A = (6 + 2\sqrt{6} – 3a\sqrt{6} – 6a) + 7\sqrt{6} $$
유리수 부분과 \(\sqrt{6}\)을 포함하는 무리수 부분으로 묶습니다.
유리수 부분: \(6 – 6a\)
무리수 부분: \(2\sqrt{6} – 3a\sqrt{6} + 7\sqrt{6} = (2 – 3a + 7)\sqrt{6} = (9 – 3a)\sqrt{6}\)
따라서 정리된 식 \(A\)는 다음과 같습니다.
$$ A = (6 – 6a) + (9 – 3a)\sqrt{6} $$
Step 3: \(A\)가 유리수가 될 조건 적용하기
\(A = (6 – 6a) + (9 – 3a)\sqrt{6}\)의 값이 유리수가 되어야 합니다.
\(a\)가 유리수이므로 \(6-6a\)와 \(9-3a\)도 유리수입니다.
따라서 \(A\)가 유리수가 되려면 무리수 부분의 계수가 0이어야 합니다.
$$ 9 – 3a = 0 $$
Step 4: \(a\) 값 계산하기
Step 3에서 얻은 방정식을 풀어 \(a\) 값을 구합니다.
$$ 3a = 9 $$
$$ a = 3 $$
Step 5: \(A\) 값 계산하기
\(A\)가 유리수가 될 때의 \(a\) 값은 3입니다. 이때 \(A\)의 값은 식 \(A = (6 – 6a) + (9 – 3a)\sqrt{6}\)에서 무리수 부분이 0이 되므로, 유리수 부분인 \(6 – 6a\)와 같습니다.
\(a=3\)을 대입하여 \(A\)의 값을 계산합니다.
$$ A = 6 – 6a = 6 – 6(3) $$
$$ = 6 – 18 = -12 $$
🧠 마무리 개념 정리
무리수를 포함한 식의 값이 유리수가 되기 위한 조건을 이용하는 문제입니다.
- 주어진 식을 전개하고 \(P + Q\sqrt{m}\) (단, \(P, Q\)는 유리수, \(\sqrt{m}\)은 무리수) 꼴로 정리합니다.
- 식이 유리수가 되려면 무리수 부분의 계수 \(Q\)가 0이어야 합니다 (\(Q=0\)).
- \(Q=0\) 조건을 이용하여 미지수(이 문제에서는 \(a\))의 값을 구합니다.
- 미지수의 값을 원래 식의 유리수 부분(\(P\))에 대입하여 최종 값(\(A\))을 구합니다.
✅ 최종 정답
\(A\)가 유리수일 때, \(A\)의 값은 -12입니다.
따라서 정답은 ② 입니다.