📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 분모에 무리수가 포함된 분수들의 합을 계산하는 문제입니다. 분모의 유리화를 통해 각 항을 간단하게 만들고, 소거되는 패턴을 찾아 합을 구하는 전략을 사용합니다.
- 분모의 유리화: 각 분수의 분모, 분자에 분모의 켤레수를 곱하여 분모를 유리화합니다.
- 패턴 분석: 유리화된 식에서 항들이 어떻게 소거되는지 패턴을 분석합니다. 대부분의 항이 서로 상쇄되어 없어지고, 처음과 마지막 항만 남는 경우가 많습니다.
- 합 계산: 남은 항들을 더하여 최종 합을 계산합니다.
핵심 공식:
\(\frac{1}{a + b} = \frac{a – b}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b}{a^2 – b^2}\) (a,b 가 무리수일때 유용)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 각 항의 분모 유리화
주어진 식은 다음과 같습니다.
$$ \frac{1}{1+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{35}+\sqrt{36}} $$
각 항의 분모를 유리화하기 위해, 분모의 켤레수를 분자, 분모에 곱합니다.
첫 번째 항:
$$ \frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}} \cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-\sqrt{2}}{1 – 2} = \sqrt{2} – 1 $$
두 번째 항:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = \sqrt{3} – \sqrt{2} $$
세 번째 항:
$$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4} = \sqrt{4} – \sqrt{3} $$
마지막 항:
$$ \frac{1}{\sqrt{35}+\sqrt{36}} = \frac{1}{\sqrt{35}+\sqrt{36}} \cdot \frac{\sqrt{35}-\sqrt{36}}{\sqrt{35}-\sqrt{36}} = \frac{\sqrt{35}-\sqrt{36}}{35-36} = \sqrt{36} – \sqrt{35} $$
Step 2: 유리화된 식의 패턴 분석
유리화된 각 항을 다시 써보면 다음과 같습니다.
$$ (\sqrt{2} – 1) + (\sqrt{3} – \sqrt{2}) + (\sqrt{4} – \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{36} – \sqrt{35}) $$
각 항을 살펴보면, 연속된 두 항에서 \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \cdots, \sqrt{35}\) 와 같은 항들이 서로 소거되는 것을 알 수 있습니다. (연쇄 소거)
Step 3: 최종 합 계산
소거 패턴에 따라 남는 항은 \(-1\)과 \(\sqrt{36}\) 입니다.
$$ -1 + \sqrt{36} = -1 + 6 = 5 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 분모의 유리화를 이용한 연쇄 소거를 통해 합을 구하는 문제입니다. 핵심은 다음과 같습니다.
- 분모의 유리화: 분모에 무리수가 있는 경우, 켤레수를 곱하여 분모를 유리화합니다.
- 연쇄 소거 (telescoping sum): 유리화된 식에서 항들이 연속적으로 소거되는 패턴을 찾아냅니다. 이러한 패턴을 통해 복잡한 합을 간단하게 계산할 수 있습니다.
이 문제에서는 분모를 유리화한 후, 항들이 서로 상쇄되어 최종적으로 간단한 계산만 남게 됩니다. 이러한 유형의 문제는 분모 유리화와 소거 패턴을 정확하게 파악하는 것이 중요합니다.
✅ 최종 정답
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