📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 \(x+y\)와 \(xy\)의 값을 이용하여 \(x^2 + y^2\)의 값을 구하는 문제입니다. 곱셈 공식의 변형을 활용하여 \(x^2 + y^2\)을 \(x+y\)와 \(xy\)로 표현하는 전략을 사용합니다.
- 곱셈 공식 활용: \(x^2 + y^2\)을 \(x+y\)와 \(xy\)로 나타낼 수 있는 곱셈 공식의 변형을 사용합니다.
- 값 대입: 주어진 \(x+y\)와 \(xy\)의 값을 곱셈 공식의 변형에 대입합니다.
- 계산: 대입된 식을 계산하여 \(x^2 + y^2\)의 값을 구합니다.
핵심 공식:
\((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
따라서, \(x^2 + y^2 = (x+y)^2 – 2xy\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 곱셈 공식 변형 적용
\(x^2 + y^2\)을 구하기 위해 곱셈 공식 \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)을 변형합니다.
양변에서 \(2xy\)를 빼면 다음과 같습니다.
$$ x^2 + y^2 = (x+y)^2 – 2xy $$
Step 2: 값 대입
문제에서 주어진 \(x+y = 5\sqrt{2}\)와 \(xy = 6\)을 위 식에 대입합니다.
$$ x^2 + y^2 = (5\sqrt{2})^2 – 2 \cdot 6 $$
Step 3: 계산
대입된 식을 계산합니다.
$$ x^2 + y^2 = (5^2 \cdot (\sqrt{2})^2) – 12 $$
$$ = (25 \cdot 2) – 12 $$
$$ = 50 – 12 $$
$$ = 38 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 곱셈 공식의 변형을 활용하여 식의 값을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱셈 공식의 변형: \(x^2 + y^2 = (x+y)^2 – 2xy\)와 같이 \(x^2 + y^2\)을 \(x+y\)와 \(xy\)를 이용하여 표현하는 것입니다.
- 값 대입 및 계산: 주어진 값을 곱셈 공식의 변형에 대입하고 정확하게 계산합니다.
이 문제에서는 주어진 \(x+y\)와 \(xy\)의 값을 곱셈 공식의 변형에 대입하여 \(x^2 + y^2\)의 값을 쉽게 구할 수 있습니다. 곱셈 공식의 변형을 숙지하고, 주어진 조건에 맞는 공식을 선택하여 적용하는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
② 38