📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(a – \frac{1}{a}\)의 값을 이용하여 \(a^4 + \frac{1}{a^4}\)의 값을 구하는 문제입니다. 곱셈 공식의 변형을 두 번 적용하여 문제를 해결합니다. 먼저, \(a – \frac{1}{a}\)를 이용하여 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)의 값을 구하고, 그 값을 다시 이용하여 \(a^4 + \frac{1}{a^4}\)의 값을 구합니다.
- 1단계: \(a – \frac{1}{a}\)를 이용하여 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)의 값을 구합니다.
- 2단계: \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)의 값을 이용하여 \(a^4 + \frac{1}{a^4}\)의 값을 구합니다.
핵심 공식:
\(\left(a – \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 – 2 + \frac{1}{a^2}\) \(\implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 2\)
\(\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 = a^4 + 2 + \frac{1}{a^4}\) \(\implies a^4 + \frac{1}{a^4} = \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 – 2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)의 값 계산
\(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 구하기 위해 \(\left(a – \frac{1}{a}\right)^2\)을 이용합니다.
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 2 $$
문제에서 주어진 \(a – \frac{1}{a} = 1\)을 대입합니다.
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 1^2 + 2 = 3 $$
Step 2: \(a^4 + \frac{1}{a^4}\)의 값 계산
\(a^4 + \frac{1}{a^4}\)을 구하기 위해 \(\left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2\)을 이용합니다.
$$ a^4 + \frac{1}{a^4} = \left(a^2 + \frac{1}{a^2}\right)^2 – 2 $$
Step 1에서 구한 \(a^2 + \frac{1}{a^2} = 3\)을 대입합니다.
$$ a^4 + \frac{1}{a^4} = 3^2 – 2 = 9 – 2 = 7 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 곱셈 공식의 변형을 두 번 적용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱셈 공식의 변형: \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)을 \(a – \frac{1}{a}\)로, 그리고 \(a^4 + \frac{1}{a^4}\)을 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)로 표현하는 것입니다.
- 단계별 적용: 주어진 정보를 바탕으로 중간 값을 구하고, 이를 활용하여 최종 값을 계산합니다.
이 문제에서는 \(a – \frac{1}{a}\)의 값을 이용하여 먼저 \(a^2 + \frac{1}{a^2}\)의 값을 구한 후, 그 값을 이용하여 \(a^4 + \frac{1}{a^4}\)의 값을 구했습니다. 곱셈 공식의 변형을 여러 번 적용하는 연습을 통해 문제 해결 능력을 향상시킬 수 있습니다.
✅ 최종 정답
④ 7