📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 이차 방정식 \(x^2 – 3x + 1 = 0\)을 이용하여 \(x^2 + \frac{1}{x^2}\)의 값을 구하는 문제입니다. 방정식을 적절히 변형하고, 곱셈 공식의 변형을 활용하여 문제를 해결합니다.
- 식 변형: 주어진 이차 방정식을 \(x\)로 나누어 \(x + \frac{1}{x}\)의 값을 구합니다.
- 곱셈 공식 활용: \(x^2 + \frac{1}{x^2}\)을 구하기 위해 곱셈 공식의 변형을 활용합니다. \(x + \frac{1}{x}\)을 사용하여 표현합니다.
- 계산: 구한 식에 값을 대입하여 \(x^2 + \frac{1}{x^2}\)의 값을 계산합니다.
핵심 공식:
\(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\) \(\implies x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 식 변형 및 \(x + \frac{1}{x}\)의 값 구하기
주어진 이차 방정식 \(x^2 – 3x + 1 = 0\)의 양변을 \(x\)로 나눕니다. (\(x \ne 0\)임을 가정)
$$ x – 3 + \frac{1}{x} = 0 $$
따라서,
$$ x + \frac{1}{x} = 3 $$
Step 2: 곱셈 공식 변형 적용 및 계산
\(x^2 + \frac{1}{x^2}\)의 값을 구하기 위해 곱셈 공식 \(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\)을 이용합니다.
식을 변형하면:
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 – 2 $$
Step 1에서 구한 \(x + \frac{1}{x} = 3\)을 대입합니다.
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 3^2 – 2 $$
Step 3: 최종 계산
계산합니다.
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 – 2 $$
$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 7 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 식을 변형하고 곱셈 공식의 변형을 활용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 식의 변형: 주어진 방정식을 \(x\)로 나누어 \(x + \frac{1}{x}\)의 값을 구하는 것과 같이, 문제 해결에 필요한 형태로 식을 변형하는 능력.
- 곱셈 공식의 변형: \(\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}\) 와 같이 \(x^2 + \frac{1}{x^2}\)을 \(x + \frac{1}{x}\)를 이용하여 표현하는 능력.
- 계산: 주어진 값을 곱셈 공식의 변형에 대입하고 정확하게 계산합니다.
이 문제에서는 주어진 방정식을 변형하여 \(x + \frac{1}{x}\)의 값을 구하고, 이를 이용하여 \(x^2 + \frac{1}{x^2}\)의 값을 구했습니다. 식의 변형과 곱셈 공식의 변형을 능숙하게 활용해야 합니다.
✅ 최종 정답
7