📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(x\)와 \(y\)의 복잡한 식을 간단히 한 후, \(x^2 – 3xy + y^2\)의 값을 구하는 문제입니다. 주어진 \(x\)와 \(y\)의 식을 먼저 간단하게 정리하고, 곱셈 공식을 활용하여 \(x^2 – 3xy + y^2\)를 \(x-y\)와 \(xy\)로 표현하여 값을 구합니다.
- 식의 간소화: \(x\)와 \(y\)의 분모를 유리화하여 식을 간단하게 만듭니다.
- \(x-y\)와 \(xy\) 계산: 간단해진 \(x\)와 \(y\)를 이용하여 \(x-y\)와 \(xy\)의 값을 계산합니다.
- 곱셈 공식 적용: \(x^2 – 3xy + y^2\)을 \( (x-y)^2 – xy \)로 변형하여 \(x-y\)와 \(xy\)를 대입하여 값을 구합니다.
핵심 공식:
\( (x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)
따라서, \(x^2 – 3xy + y^2 = (x^2 – 2xy + y^2) – xy = (x-y)^2 – xy\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(x\)와 \(y\) 식의 간소화
\(x\)와 \(y\)의 분모를 유리화합니다.
\(x\):
$$ x = \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = \frac{(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{4 – 4\sqrt{2} + 2}{4 – 2} = \frac{6 – 4\sqrt{2}}{2} = 3 – 2\sqrt{2} $$
\(y\):
$$ y = \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4 – 2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2} $$
Step 2: \(x-y\)와 \(xy\)의 값 계산
간소화된 \(x\)와 \(y\)를 이용하여 \(x-y\)와 \(xy\)의 값을 계산합니다.
\(x-y\):
$$ x – y = (3 – 2\sqrt{2}) – (3 + 2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} $$
\(xy\):
$$ xy = (3 – 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 – (2\sqrt{2})^2 = 9 – 8 = 1 $$
Step 3: \(x^2 – 3xy + y^2\) 값 계산
\(x^2 – 3xy + y^2\)을 곱셈 공식을 이용하여 변형합니다.
$$ x^2 – 3xy + y^2 = (x^2 – 2xy + y^2) – xy = (x-y)^2 – xy $$
Step 2에서 구한 \(x-y = -4\sqrt{2}\)와 \(xy = 1\)을 대입합니다.
$$ (x-y)^2 – xy = (-4\sqrt{2})^2 – 1 = 32 – 1 = 31 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 식을 간소화하고 곱셈 공식의 변형을 활용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 식의 간소화: 분모의 유리화를 통해 식을 간단하게 만드는 능력.
- 곱셈 공식의 변형: \(x^2 – 3xy + y^2\)을 \((x-y)^2 – xy\) 로 변형하여 \(x-y\)와 \(xy\)를 활용하는 능력.
- 계산: \(x-y\)와 \(xy\)의 값을 정확하게 계산하고 대입하여 답을 구합니다.
이 문제에서는 먼저 \(x\)와 \(y\)의 식을 간단히 하고, \(x-y\)와 \(xy\)의 값을 구한 후, 곱셈 공식을 활용하여 \(x^2 – 3xy + y^2\)의 값을 계산했습니다. 복잡한 식을 다룰 때, 식을 간단하게 만들고 적절한 곱셈 공식을 적용하는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
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