📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(x = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\)일 때, \(x^2 – 6x + 9\)의 값을 구하는 문제입니다. 주어진 \(x\)의 값을 먼저 간단하게 정리하고, 완전 제곱식을 이용하여 \(x^2 – 6x + 9\)의 값을 구합니다. 분모의 유리화, 식 변형, 완전 제곱식 활용이 핵심입니다.
- 식의 간소화: \(x\)의 분모를 유리화하여 식을 간단하게 만듭니다.
- 식 변형 및 완전 제곱식 활용: \(x^2 – 6x + 9\)를 \( (x-3)^2 \) 로 변형합니다.
- 값 대입 및 계산: 간단해진 \(x\)를 이용하여 \(x-3\)의 값을 구하고, 이를 제곱하여 값을 계산합니다.
핵심 공식:
\((x-a)^2 = x^2 – 2ax + a^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(x\) 식의 간소화
\(x\)의 분모를 유리화합니다.
$$ x = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} = 3 – 2\sqrt{2} $$
Step 2: \(x-3\) 계산 및 완전 제곱식 적용
간소화된 \(x\)를 이용하여 \(x-3\)의 값을 구합니다.
$$ x – 3 = (3 – 2\sqrt{2}) – 3 = -2\sqrt{2} $$
주어진 식을 완전 제곱식 형태로 변형합니다.
$$ x^2 – 6x + 9 = (x-3)^2 $$
Step 3: 최종 계산
Step 2에서 구한 \(x-3 = -2\sqrt{2}\)를 대입하여 값을 계산합니다.
$$ (x-3)^2 = (-2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 식을 간소화하고 완전 제곱식을 활용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 식의 간소화: 분모의 유리화를 통해 식을 간단하게 만드는 능력.
- 완전 제곱식 활용: \(x^2 – 6x + 9 = (x-3)^2\)과 같이 주어진 식을 완전 제곱식으로 변형하는 능력.
- 계산: 값을 정확하게 계산합니다.
이 문제에서는 먼저 \(x\)의 식을 간단히 하고, 완전 제곱식으로 변형하여 계산했습니다. 복잡한 식을 다룰 때, 식을 간단하게 만들고 완전 제곱식을 활용하는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
8