📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 함수 \(f(n)\)의 값을 계산하고, \(f(1)\)부터 \(f(30)\)까지의 합을 구하는 문제입니다. 함수 \(f(n)\)의 규칙성을 파악하고, \(n\)의 값에 따라 \(f(n)\)이 어떤 값을 갖는지 분석합니다. \(n\)이 짝수일 때와 홀수일 때를 나누어 생각하고, 규칙성을 이용하여 합을 계산합니다.
- \(f(n)\)의 규칙성 파악: \(n^2\)을 4로 나누었을 때의 나머지가 \(f(n)\)이므로, \(n\)이 짝수일 때와 홀수일 때를 나누어 \(f(n)\)의 값을 구합니다.
- 합 계산: \(f(n)\)의 규칙성을 이용하여 \(f(1) + f(2) + f(3) + … + f(30)\)의 값을 계산합니다. 짝수와 홀수의 개수를 파악하여 합을 구합니다.
핵심 개념:
나머지의 성질과 수열의 규칙성을 파악하는 것이 중요합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(f(n)\)의 규칙성 파악 (n이 짝수일 때)
\(n\)이 짝수일 때, \(n = 2k\) ( \(k\)는 자연수) 로 표현할 수 있습니다.
$$ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 $$
\(n^2\)을 4로 나누면 나머지가 0이므로, \(f(n) = 0\) 입니다.
Step 2: \(f(n)\)의 규칙성 파악 (n이 홀수일 때)
\(n\)이 홀수일 때, \(n = 2k+1\) ( \(k\)는 음이 아닌 정수) 로 표현할 수 있습니다.
$$ n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1 $$
\(n^2\)을 4로 나누면 나머지가 1이므로, \(f(n) = 1\) 입니다.
Step 3: 합 계산
\(f(1) + f(2) + … + f(30)\)을 계산합니다.
1부터 30까지의 숫자 중 홀수는 15개, 짝수는 15개입니다.
홀수인 경우 \(f(n) = 1\), 짝수인 경우 \(f(n) = 0\)이므로, 합은 다음과 같습니다.
$$ f(1) + f(2) + … + f(30) = \underbrace{1 + 0 + 1 + 0 + … + 1 + 0}_{\text{15개의 1, 15개의 0}} = 15 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 수열의 규칙성을 파악하고, 나머지 연산의 성질을 이용하여 합을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 나머지 연산의 이해: 어떤 수를 특정 수로 나누었을 때의 나머지를 구하는 방법을 이해합니다.
- 수열의 규칙성 파악: \(f(n)\)의 값을 \(n\)의 값에 따라 분석하고, 규칙성을 찾아냅니다.
- 합 계산: 규칙성을 이용하여 주어진 수열의 합을 계산합니다.
이 문제에서는 \(n\)이 짝수일 때와 홀수일 때 \(f(n)\)의 값을 구하고, 그 규칙성을 이용하여 \(f(1)\)부터 \(f(30)\)까지의 합을 계산했습니다. 규칙성을 파악하고, 그에 따라 합을 효율적으로 계산하는 능력이 중요합니다.
✅ 최종 정답
15